16. 二元随机变量，离散型随机变量分布律

定义： 设 E E E 是一个随机实验，样本空间 S = { e } S=\{e\} S={e}；设 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e) 和 Y = Y ( e ) Y=Y(e) Y=Y(e) 是定义在 S S S 上的随机变量，由它们构成的向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 称为二维随机向量或二元随机变量。

定义： 若二元随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 全部可能取到的不同值是有限时或可列无线对，则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 是二元离散型随机变量。

设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 所有可能取值为 ( x i , y j ) (x_i,y_j) (xi​,yj​)，称 P ( X = x i , Y = y j ) = P i j ， i , j = 1 , 2 , ⋯ P(X=x_i,Y=y_j)=P_{ij}，i,j=1,2,\cdots P(X=xi​,Y=yj​)=Pij​，i,j=1,2,⋯ 为二元离散型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合概率分布律。也可简称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的分布律。可以用如下图的表格来表示

X Y y 1 y 2 ⋯ y j ⋯ x 1 p 11 p 12 ⋯ p 1 j ⋯ x 2 p 21 p 22 ⋯ p 2 j ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ x i p i 1 p i 2 ⋯ p i j ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ \begin{array}{c|ccccc} _X\bcancel{\quad^Y} &y_1&y_2&\cdots&y_j&\cdots \\ \hline x_1 &p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1j}&\cdots \\ x_2 &p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2j}&\cdots \\ \vdots &\cdots&\quad&\cdots&\quad&\cdots \\ x_i &p_{i1}&p_{i2}&\cdots&p_{ij}& \cdots \\ \vdots &\cdots&\quad&\cdots&\quad&\cdots \end{array} X​Y x1​x2​⋮xi​⋮​y1​p11​p21​⋯pi1​⋯​y2​p12​p22​pi2​​⋯⋯⋯⋯⋯⋯​yj​p1j​p2j​pij​​⋯⋯⋯⋯⋯⋯​​

其中 p i j = P ( X = x j , Y = y j ) , i , j = 1 , 2 , ⋯ p_{ij}=P(X=x_j,Y=y_j),i,j=1,2,\cdots pij​=P(X=xj​,Y=yj​),i,j=1,2,⋯

例 1： 一盒子中有 10 件产品，其中 6 件正品 ，4 件次品。从中取 1 件产品检验，不放回，再取 1 件检验。引入如下的随机变量 X X X 与 Y Y Y，

X = { 0 , 第 1 次取到次品 1 , 第 1 次取到正品 ， Y = { 0 , 第2次取到次品 1 , 第2次取到正品 , X=\begin{cases} 0, &\text{第 1 次取到次品} \\ 1, &\text{第 1 次取到正品}， \end{cases} \quad Y=\begin{cases} 0, &\text{第2次取到次品} \\ 1, &\text{第2次取到正品}, \end{cases} X={0,1,​第 1 次取到次品第 1 次取到正品，​Y={0,1,​第2次取到次品第2次取到正品,​

求 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合分布律。

解： ( X ， Y ) (X，Y) (X，Y) 可能的取值数对有： ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) . (0,0),(0,1),(1,0),(1,1). (0,0),(0,1),(1,0),(1,1).

由乘法公式 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P(AB)=P(A)P(B|A) P(AB)=P(A)P(B∣A) 得：

P ( X = 0 , Y = 0 ) = P ( X = 0 ) P ( Y = 0 ∣ X = 0 ) = 4 10 × 3 9 = 2 15 P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=\cfrac{4}{10}\times\cfrac{3}{9}=\cfrac{2}{15} P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0∣X=0)=104​×93​=152​

同理得： P ( X = 0 , Y = 1 ) = 4 10 × 6 9 = 4 15 P(X=0,Y=1)=\cfrac{4}{10}\times\cfrac{6}{9}=\cfrac{4}{15} P(X=0,Y=1)=104​×96​=154​

P ( X = 1 , Y = 0 ) = 6 10 × 4 9 = 4 15 , P ( X = 1 , Y = 1 ) = 6 10 × 5 9 = 5 15 P(X=1,Y=0)=\cfrac{6}{10}\times\cfrac{4}{9}=\cfrac{4}{15},P(X=1,Y=1)=\cfrac{6}{10}\times\cfrac{5}{9}=\cfrac{5}{15} P(X=1,Y=0)=106​×94​=154​,P(X=1,Y=1)=106​×95​=155​

X Y 0 1 0 2 15 4 15 1 4 15 5 15 \begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 \\ \hline 0 & \cfrac{2}{15} & \cfrac{4}{15} \\ 1 & \cfrac{4}{15} & \cfrac{5}{15} \end{array} X​Y 01​0152​154​​1154​155​​​

例 2： 设随机变量 X X X 在 1、2、3、4 四个正数中等可能地取一个值，另外一个随机变量 Y Y Y 在 1 ∼ X 1\sim X 1∼X 中等可能地取一整数值，试求 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合概率分布及 X 、 Y X、Y X、Y 的分布。

解： X 、 Y X、Y X、Y 的取值情况均为 1,2,3,4；当 i , j = 1 , ⋯   , 4 i,j=1,\cdots,4 i,j=1,⋯,4 时

P ( X = i , Y = j ) = P ( X = i ) P ( Y = j ∣ X = i ) = { 1 4 × 1 i , i ≥ j 1 4 × 0 , i < j P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=\begin{cases} \cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{i}, &i\geq j \\ \\ \cfrac{1}{4} \times 0, &iX=4} 是 { Y = j } \{Y=j\} {Y=j} 前导事件组，由全概率公式得：

P ( Y = j ) = ∑ i = 1 4 P ( X = i ) P ( Y = j ∣ X = i ) , j = 1 , 2 , 3 , 4. P(Y=j)=\sum_{i=1}^{4}P(X=i)P(Y=j|X=i),j=1,2,3,4. P(Y=j)=i=1∑4​P(X=i)P(Y=j∣X=i),j=1,2,3,4.

所以， X 、 Y X、Y X、Y 分布律就是在联合分布律表中横向、纵向相加！

例 3： 袋中有 1 个红球， 2 个黑球，3 个白球，现有放回地取两次，每次取一球，以 X , Y , Z X,Y,Z X,Y,Z 分别表示两次取球所得的红、黑、白球个数。求：

（1） P ( X = 1 ∣ Z = 0 ) P(X=1|Z=0) P(X=1∣Z=0)

（2） P ( X = 1 , Z = 0 ) P(X=1,Z=0) P(X=1,Z=0)

（3） ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 概率分布。

解：

（1） 这一问表示的意思是取到不是白球的前提下，取到 1 个红球的概率，所以：

P ( X = 1 ∣ Z = 0 ) = 1 3 × 2 3 + 2 3 × 1 3 = 4 9 \quad P(X=1|Z=0)=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{2}{3}+\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{3}=\cfrac{4}{9} P(X=1∣Z=0)=31​×32​+32​×31​=94​

（2）这一问表达的是取出 1 个红球跟 0 个白球的概率，所以： P ( X = 1 , Z = 0 ) = 1 6 × 2 6 + 2 6 × 1 6 = 1 9 \quad P(X=1,Z=0)=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{2}{6}+\cfrac{2}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{9} P(X=1,Z=0)=61​×62​+62​×61​=91​

这里需要注意两问的区别!

（3） X ， Y X，Y X，Y 的取值范围均为 0, 1, 2.

P ( X = 0 , Y = 0 ) = 3 6 × 3 6 = 1 4 P(X=0,Y=0)=\cfrac{3}{6}\times\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{4}\quad\quad P(X=0,Y=0)=63​×63​=41​ 2 球均为白球

P ( X = 0 , Y = 1 ) = 2 6 × 3 6 × 2 = 1 3 P(X=0,Y=1)=\cfrac{2}{6}\times\cfrac{3}{6}\times2=\cfrac{1}{3}\quad\quad P(X=0,Y=1)=62​×63​×2=31​ 黑白或者白黑

P ( X = 1 , Y = 2 ) = 0 P(X=1,Y=2)=0\quad\quad P(X=1,Y=2)=0 这里总数超过 2 个，不符合条件。

P ( X = 2 , Y = 0 ) = 1 6 × 1 6 = 1 36 P(X=2,Y=0)=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{36}\quad\quad P(X=2,Y=0)=61​×61​=361​ 两球均为红球

其余情况类似可得！

所以 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的概率分布为：

X Y 0 1 2 0 1 4 1 3 1 9 1 1 6 1 9 0 2 1 36 0 0 \begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{3} & \cfrac{1}{9} \\ \\ 1 & \cfrac{1}{6} & \cfrac{1}{9} & 0 \\ \\ 2 & \cfrac{1}{36} & 0 & 0 \\ \\ \end{array} X​Y 012​041​61​361​​131​91​0​291​00​​