求函数值域典型例题(总13页).doc

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1、求函数值域典型例题一、函数点调性法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1. 求函数的值域。解： 显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。解： 故函数的值域是： 练习1：求函数y=3+的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出的值域。 解：由算术平方根的性质，知0， 故3+3。 函数的值域为 3 ,) 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 练习2：求函数y=x(0x5)的值域。（答案：值域为：0，1，2，3，4，5）练习3： y=3x+2(-1x

2、1) 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 即函数的值域是 y| y2 即函数的值域是 y| yR且y1（此法亦称分离常数法）当x0，=，当x0，故原函数的值域为(0,。例5求函数的值域。 练习：求函数y=3+ 的值域。(答案：y|y3) 求函数y=x-3+2x+1 的值域。二、反比例函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。解：由原函数式可得： 则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例7 求函数的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求

3、出其定义域。 解：显然函数的反函数为:,其定义域为y1的实数,故函数y的值域为yy1,yR。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习2：求函数y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。（答案：函数的值域为yy1）三、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例8. 求函数的值域。解：由原函数式可得： 解得： 故所求函数的值域为 例9. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为： 即 即解得： 故函数的值域为形如可解出y的范围,从而求出其值域或最值。

4、例10求函数的值域解析：由得四、配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例8. 求下列函数的最大值、最小值与值域：；解：，顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. 抛物线的开口向上，函数的定义域R，x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是y|y-3 .顶点横坐标23,4，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； 在3,4上，=-2，=1；值域为-2，1.顶点横坐标20,1，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,在0,1上，=-2，=1；值域为-2，1.顶点横坐标2 0,5，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,在0,1

5、上，=-3，=6；值域为-3，6.注：对于二次函数,若定义域为R时，当a0时，则当时，其最小值；当a0）时或最大值（a0）。七、均值不等式法：利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立 故原函数的值域为： 例20. 求函数的值域。解：例3、求函数y=4sinxcos2x的最值分析：利用sin2x+cos2x=1进行本方法，凑出和为定值，才能使用均值不等式求最值解：y2=16sin2xcos2xcos2x=8（2sin2x cos2x

6、cos2x）8（）3=8*=y2，当且仅当2sin2x=cos2x即tgx=时，取“=”号y大= y小=-当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：八、数形结合：例5求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y3.解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例16. 求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，