（数论）整数二元一次不定方程（扩展欧几里得求解）

2024-07-06 13:29| 来源: 网络整理| 查看: 265

问题：形如ax+by=c(a,b均不为0)的方程，a,b,c都是整数，求(x,y)整数解。

判断是否有解

整数二元一次方程有解的充要条件是gcd(a,b)|c。如果不能整除则无解。

扩展欧几里得算法

欧几里得算法就是求出ax+by=gcd(a,b)的一个解（特解）

代码如下：

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){ if(b==0) {x=1;y=0;return a;} int d=ex_gcd(b,a%b,x,y);//求出a,b的最大公约数 int tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y; return d; }

关于上述递归函数中x,y变化情况证明推导如下（参考本篇文章）：由欧几里德算法gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2，现在只要做一些变形就可以得到扩展欧几里德算法中的用到的式子了。令k=a/b(商)，r=a%b(余数)，那么a=kb+r。所以r=a-kb，带入上式，得到ax1+by1=bx2+(a-(a/b)b)y2=ay2+b(x2-(a/b)y2) => x1=y2，y1=x2-(a/b)y2。有了这两个式子我们就知道了在用欧几里德求最大公约数的时候，相应的参数x，y的变化。现在再回过头来看一下扩展欧几里德算法的代码就很好理解了，实际上扩展欧几里德就是在求a和b的最大公约数的同时，也将满足方程ax1+by1=gcd(a,b)的一组x1和y1的值求了出来。

下面是《算法竞赛入门经典》（第2版）上的扩展欧几里得算法代码的解释：

void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){ if(b==0){x=1;y=0;d=a;} else{ gcd(b,a%b,d,y,x);//注意这里x,y互相交换了一下 y-=a/b*x;//这里是在x,y互相交换的基础上对y=tmp-a/b*y的改进 } } 通解

ax+by=gcd(a,b)在有解并求出特解(x,y)的情况下，通解可以表示为 x’=x+b/gcd(a,b)t; y’=y-a/gcd(a,b)t; 对于一般式ax+by=c，如果有解，只需要把ax+by=gcd(a,b)的特解乘上c/gcd(a,b)即可得到其特解，通解还是一样的公式。

【实例代码】

#include using namespace std; int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){ if(b==0) {x=1;y=0;return a;} int d=ex_gcd(b,a%b,x,y);//求出a,b的最大公约数 int tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y; return d; } int main() { int a,b,c,x,y,d; cin>>a>>b>>c; d=ex_gcd(a,b,x,y); if(c%d!=0) cout

【本文地址】

公司简介

联系我们

今日新闻

推荐新闻

专题文章