两平面平行方向向量关系

3．数量积的几何应用

(1)向量垂直关系的判定：a.b=0

(2)向量的投影：

2．混合积的几何应用

(1) a,b,c共面⇔[abc]=0存在不全零的数λ,μ,γ，使得λa +μb +γc=0.

(2) 空间四点A,B,C,D共面⇔[abc]=0

(3) 以a,b,c为棱的四面体体积为：|[a b c]|/6

(4) 以a,b,c为棱的平行六面体体积为：|[a b c]|

四、空间平面及其方程

1．平面的点法式方程

设M(x0,y0,z0)为平面上的已知点，n=(A,B,C)为法向量，M(x,y,z)为平面上的任一点，则平面的点法式方程为：

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

2．平面的三点式方程

设M1 (x1,y1,z1)，M2 (x2,y2,z2)，M3 (x3,y3,z3)是某平面上不共线的三点，则由四点共面，四点构成的三个向量的混合积为零，可得平面的三点式方程：

3．平面的截距式方程

如果三点取为坐标轴上的点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，其中abc≠0，或者已知平面在三坐标轴上的截距为a,b,c，则平面的截距式方程为

x/a+y/b+z/c=1

4．平面的一般式方程

三元一次方程描述的图形为空间平面，即平面的一般式方程为：

Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0).

并且平面的法向量为n=(A,B,C)，任何满足方程的x,y,z的值构成在有序对(x,y,z)对应的点都为该方程描述的平面上的点。

【注】：法向量的哪两个分量为零，则该平面平行于这两个分量对应的坐标轴构成的坐标面。

五、空间直线及其方程

1．直线的向量式参数方程

设直线L过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为s=(m,n,p)，其中m,n,p是不全为零的常数．在直线L上任取一点M(x,y,z)，并记

则直线L参数为t的向量式参数方程为

r=r0+ts(-∞

2．空间直线的坐标式参数方程

过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为s=(m,n,p)的直线的坐标式参数方程为