线性代数学习笔记（十九）

本篇笔记首先介绍了矩阵行满秩、列满秩、满秩和降秩等概念，并讨论了矩阵秩与r阶子式值的关系；然后重点介绍了阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵，该部分内容非常重要，后续章节和考试经常会用到；同时还讨论了阶梯形矩阵的用处和将矩阵化为阶梯形，并由此求矩阵的秩；最后介绍了矩阵秩的两个性质，矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等，任意矩阵乘以可逆矩阵秩不变。

矩阵的秩是反映矩阵行之间结构复杂程度的一个词。 记作： r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r。 如： r ( A ) = 5 r(A)=5 r(A)=5或 秩 ( A ) = 5 秩(A)=5 秩(A)=5， r r r为 r a n k rank rank的缩写。

规定：零矩阵的秩等零，即 r ( O ) = 0 r(O)=0 r(O)=0。

如果 A A A为 m × n m{\times}n m×n的矩阵，那么 0 ≤ r ( A ) ≤ m i n { m , n } 0{\le}r(A){\le}min\{m,n\} 0≤r(A)≤min{m,n}， 若 r ( A ) = m r(A)=m r(A)=m，代表取了所有的行，称为行满秩； 若 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n，意味着取了所有的列，称为列满秩； 若 r ( A ) = m i n { m , n } r(A)=min\{m,n\} r(A)=min{m,n}，即矩阵为行满秩或列满秩，统称为满秩； 若 r ( A ) < m i n { m , n } r(A)