【集合论】集合概念与关系 ( 真子集

真子集 :

描述 : A , B A , B A,B 两个集合 , 如果 A A A 集合 是 B B B 集合的子集 , 并且 A ≠ B A \not= B A​=B , 则称 A A A 是 B B B 的真子集 , B B B 真包含 A A A ;

记作 : A ⊂ B A \subset B A⊂B

符号化表示 : A ⊂ B A \subset B A⊂B ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A ⊆ B ∧ A ≠ B A \subseteq B \land A \not= B A⊆B∧A​=B

非真子集 :

描述 : A A A 集合 不是 B B B 集合的真子集 ;

记作 : A ⊄ B A \not\subset B A​⊂B

符号化表示 : A ⊄ B A \not\subset B A​⊂B ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∃ x ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∧ A ≠ B \exist x ( x \in A \land x \not\in B ) \land A \not= B ∃x(x∈A∧x​∈B)∧A​=B

( 存在元素 x x x 是集合 A A A 的元素 , 不是集合 B B B 的元素 , 并且 A , B A , B A,B 不相等 , 则 A A A 不是 B B B 的真子集 )

真包含关系 性质 :

反自反性 : A ⊄ A A \not\subset A A​⊂A

反对称性 : 如果 A ⊂ B A \subset B A⊂B , 那么 B ⊄ A B \not\subset A B​⊂A

传递性 : 如果 A ⊂ B A \subset B A⊂B , 并且 B ⊂ C B \subset C B⊂C , 那么 A ⊂ C A \subset C A⊂C

空集描述 : 没有任何元素的集合 , 称为空集合 , 简称为 空集 ;

记作 : ∅ \varnothing ∅

空集示例 : A = { x ∣ x 2 + 1 = 0 ∧ x ∈ R } A = \{ x | x^2 + 1 = 0 \land x \in R \} A={x∣x2+1=0∧x∈R}

R R R 是实数集合 , 上述 x x x 明显无解 , 集合也为空集 ;

空集定理 : 空集是一切集合的子集 ;

空集推论 : 空集是唯一的 ;

全集 : 限定所讨论的集合 , 都是某个集合的子集 , 则称该集合为全集 , 记作 E E E ;

全集不唯一 : 全集只是相对于讨论问题的范畴 , 不唯一 , 不能讨论范畴之外的情况 ;

全集示例 : 讨论 [0, 1] 区间上的实数性质 , 取全集为 [0, 1] 上的所有实数 ;

( 讨论其它区间的数 , 也可以取其它的区间作为全集 )

幂集描述 : A A A 是一个集合 , A A A 集合的全体子集组成的集合 称为 A A A 的幂集 ;

记作 : P ( A ) P(A) P(A)

符号化表述 : P ( A ) = { x ∣ x ⊆ A } P(A) = \{ x | x \subseteq A \} P(A)={x∣x⊆A}

集合元素个数 :

0 0 0 元集 : ∅ \varnothing ∅

1 1 1 元集 : 含有 1 1 1 个元素的集合 , 又称为 单元集 ;

2 2 2 元集 : 含有 2 2 2 个元素的集合 ;

⋮ \vdots ⋮

n n n 元集 : 含有 n n n 个元素的集合 ; ( n ≥ 1 n \geq 1 n≥1 )

有穷集 : ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 表示集合 A A A 中的元素个数 , 如果 A A A 集合中的元素个数是 有限数 时 , 那么称该 A A A 集合为有穷集 , 或 有限集 ;

幂集个数定理 : 集合 A A A 中的 元素个数 ∣ A ∣ = n |A| = n ∣A∣=n , 则 A A A 的 幂集个数 ∣ P ( A ) ∣ = 2 n |P(A)| = 2^n ∣P(A)∣=2n ;

求幂集步骤 : 求 集合 A A A 的幂集 , 需要按照顺序求 A A A 集合中 由低到高元的所有子集 , 再将这些子集组成集合 ;

低到高元的所有子集 : 0 0 0 元集 , 1 1 1 元集 , 2 2 2 元集 , ⋯ \cdots ⋯ , n n n 元集 ;

集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b , c \} A={a,b,c}

0 0 0 元集 : ∅ \varnothing ∅

1 1 1 元集 : { a } \{ a \} {a} , { b } \{ b \} {b} , { c } \{ c \} {c}

2 2 2 元集 : { a , b } \{ a, b \} {a,b} , { a , c } \{ a, c \} {a,c} , { b , c } \{ b, c \} {b,c}

3 3 3 元集 : { a , b , c } \{ a, b, c \} {a,b,c}

集合 A A A 的幂集是 :

P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } } P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a, b \} , \{ a, c \} , \{ b, c \} , \{ a, b, c \} \} P(A)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}