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(一)空间曲线的切线和法平面
1. 参数方程的形式 理解和记忆如下公式: 参数方程在知道偏导数的情况下,得到该点的切线以及法平面的公式,笔者可以理解但是无法证明。 2. 可以转换为参数方程的第二种形式: 将y、z表示成x的方程,x代换为t,将y、z表达为t的参数方程的形式,是解决此类方程的出发点。 此种变换的本质,就是将多元函数转换为参数方程的形式。如此看来,如果多远函数无法转换为参数方程的形式,那么将无法求出此函数的切线方程和法平面。 3. 第二种形式的进一步扩展 该种形式的函数作如下处理,可以转化为第二种形式,然后得到切线和法平面。 最后根据雅可比式,按照第二种方式的处理方式,最终得到如下的切线和法平面: 第三种方式,实际上就是对方程求全导数,将y、z表达为x的函数,并求出y、z对x的导数,将x当作参数方程中的t,y、z当作t的参数方程,求导后,带入第一类方法中,求出切线和法平面的方程。 (二)曲面的切平面和法线1. 普通形式 此处重点是理解(6-17)公式的含义。此公式可以看作两个向量的内积,因为内积为0,因此将此两个向量看作法向量和切线。曲面上定点每个变量的偏导数都是相等的,故可以推导出法向量的值,然后根据法向量推导出法线和切平面的公式。 2. 第二种形式 第二种形式是第一种形式的特例,思路还是转化为第一种方程的格式,根据公式,带入即可。 |
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