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矩阵与向量相乘
part I 矩阵与向量的乘法:
矩阵x列向量(注:可以把列向量看成是nx1的矩阵)
现有如下方程组: 9个系数,3个未知数,等式右边有3个数 上述方程组可用矩阵的方式改写成,一个系数矩阵A与一个未知数向量x的乘积,乘积的结果等于右端向量b: 现在我们分别用两种方法,逐行点乘和各列的线性组合来计算系数矩阵A和未知数向量x的乘法。 第一种方法,逐行点乘:用A矩阵中的每一行row去乘以x,如下 用这种计算方法得到的结果,正好是原始方程组中的第一个方程的左边。依此类推,也就是用A矩阵中的第二,第三行,逐一与向量x相乘,就能得到整个原始方程组的左边。 补充图示: Tips:(点乘/内积) 一个1xn的行向量乘以一个nx1的列向量是一个非常基本的操作,他会得到一个数1x1。这个算法又叫矩阵的内积(Inner product)或点乘。例如,用A中的第一行[2 1 1]乘以另外一个列向量[1 1 2],得到的就是一个数[5]。 把b看成是A中各个列向量(column)与未知数向量x的线性组合,其中,u,v,w分别代表了矩阵A中第1,2,3列所对应的权重。 这种计算方法与思考方式应当成为首选,更是学习线性代数该有的视角(强烈推荐)。因为他是在用线性组合的方式来看问题。(在后面的学习中,我们会用空间Space这种更高的视角来看Ax=b。)就好像我在另外一篇自己的学习总结中写的那样,学习线性代数的重点,不应该是只学习如果求解Ax=b,而是去学习如果表达Ax=b。 补充图示:
同理,对于另一种向量,行向量而言,也有相似的两种算法。所不同的是,列向量的乘法矩阵在向量之前,而行向量的乘法,矩阵在向量之后。 1,逐列点乘2,各行的线性组合 矩阵与矩阵相乘 part II 矩阵与矩阵的乘法: 有了前面的基础知识,我们就应该摈弃早年学习线性代数时早已形成的那种,用矩阵A中的每一行乘x的方式去计算Ax中的每一个元素。而是应该尝试着去考虑上文中提到的线性组合视角。矩阵与矩阵相乘分为矩阵的左(前)乘与矩阵的右(后)乘。矩阵的右(后)乘即为对矩阵A的列操作,而矩阵的左(前)乘即为对矩阵A的行操作 。 矩阵的右(后)乘:矩阵B右乘矩阵A,AB假设矩阵A的维度是axb,矩阵B的维度是bxc 矩阵B后(右)乘矩阵A。首先,把矩阵B看成一个个列向量 B中每个col与矩阵A各列的计算结果都是一个ax1的列向量,作为新矩阵AB的一列。因为矩阵B有c个col,因此要计算c次,得到c个ax1的列向量,矩阵AB最终是一个axc的矩阵。 (牢记口诀:后乘矩阵,列操作。) 假设矩阵A的维度是nxj,矩阵B的维度是ixn 矩阵B左乘矩阵A。首先,把矩阵B看成一个个行向量 B中每个row与矩阵A各行的计算结果都是一个1xj的行向量,作为新矩阵AB的一行。因为矩阵B有i个row,因此要计算i次,得到i个1xj的行向量,矩阵BA最终是一个ixj的矩阵。 (牢记口诀:前乘矩阵,行操作。) (全文完) ---作者,松下J27 参考文献(鸣谢): 1,Linear Algebra and Its Applications, Forth edition --- Gibert Strang(page 21) 2,线性代数及其应用 --- 侯自新,南开大学出版社,1990年 3,The-Art-of-Linear-Algebra/The-Art-of-Linear-Algebra-zh-CN.pdf at main · kenjihiranabe/The-Art-of-Linear-Algebra · GitHub 格言摘抄: 「她許多的罪都赦免了,因為她的愛多;但那赦免少的,他的愛就少。」---出自圣经,路加福音7章47節 本文于2023年6月24日做了修改与更新,望大家喜欢。 修改了部分措辞,增添了插图。2024/07/13 (配图与本文无关) 版权声明:所有的笔记,可能来自很多不同的网站和说明,在此没法一一列出,如有侵权,请告知,立即删除。欢迎大家转载,但是,如果有人引用或者COPY我的文章,必须在你的文章中注明你所使用的图片或者文字来自于我的文章,否则,侵权必究。 ----松下J27 |
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