矩阵相乘秩的关系

矩阵相乘秩的关系

矩阵相乘是线性代数中的一个重要概念，它可以用来描述多个线性

变换的复合。在矩阵相乘中，秩是一个非常重要的概念，它可以帮

助我们理解矩阵相乘的性质和特点。

我们来回顾一下矩阵相乘的定义。设有两个矩阵

A

和

B

，它们的维

度分别为

m×n

和

n×p

，那么它们的乘积

C

就是一个

m×p

的矩阵，

其中

C

的第

i

行第

j

列的元素可以表示为：

C(i,j) = Σ(A(i,k) × B(k,j))

，其中

k

的取值范围为

1

到

n

。

在矩阵相乘中，秩是一个非常重要的概念。秩可以用来描述矩阵的

线性相关性和线性无关性。一个矩阵的秩定义为它的行向量或列向

量的最大线性无关组的向量个数。例如，一个

3×3

的矩阵如果它的

行向量或列向量中有两个向量线性相关，那么它的秩就是

2

。

那么矩阵相乘的秩有什么关系呢？我们可以通过以下定理来说明：

定理：设有两个矩阵

A

和

B

，它们的维度分别为

m×n

和

n×p

，那

么它们的乘积

C

的秩不超过

min(rank(A), rank(B))

。

证明：设

A

的秩为

r1

，

B

的秩为

r2

，那么

A

和

B

的列向量空间的

交集的维度不超过

r1

和

r2

的最小值。因此，

C

的列向量空间的维

度也不超过

r1

和

r2

的最小值，即

C

的秩不超过

min(rank(A), 

rank(B))

。