相同函数的判断

当我们学习了函数的概念之后，很自然就会引出一类题目：如何判断两个函数是不是相同的函数。

由函数的概念可知：

近代定义：设 \(A\) ，\(B\) 都是非空的数集，\(f：x\)\(\rightarrow\)\(y\) 是从 \(A\) 到 \(B\) 的一个对应法则，那么从 \(A\) 到 \(B\) 的映射 \(f：\)\(A\)\(\rightarrow\)\(B\) 就叫做函数，记作 \(y=f(x)\)，其中 \(x∈A\)， \(y∈B\)，原象的集合 \(A\) 叫做函数 \(f(x)\) 的定义域，象的集合 \(C\) 叫做函数 \(f(x)\) 的值域，显然有\(C\subseteq B\)由于集合 \(B\) 中的元素不要求每一个都有原像的，而集合 \(A\) 中的每一个元素必须都有像，而且必须唯一；\(\quad\)。

函数的要素有三个：定义域，值域，对应法则最好理解的对应关系可以借助解析式来进行，比如 \(y\)\(=\)\(2x^2\)\(+\)\(1\)，当然对应关系不仅仅只用解析式给出来，也可以用表格或者图像给出；\(\quad\)，当一个函数的定义域和对应法则都确定的前提下，其值域也是随之而确定的，故有时候我们也说函数的两要素，即定义域和对应法则。

这样，我们判断两个函数是否为相同函数时，常常从三要素或者两要素入手，此时还有一个难点，给定的函数的解析式的外形往往不一样，不一样的函数外形不一定就不是相同函数，这是我们容易犯的一个思维定势的错误，如何避免这一错误，涉及到下一步的问题：

掌握以下常见的 数学恒等变形 ，有助于我们的判断，

① \(|x|\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x，&x\geqslant 0\\-x，&x 0\) 时， \(\log_{2}{x^2}\Leftrightarrow 2\log_{2}x\)，

⑤ \(\cfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}\not\Leftrightarrow x+2\)，仅当 \(x\neq 1\)时，\(\cfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}\Leftrightarrow x+2\)，

⑥ \(\sqrt{\cfrac{x-1}{x+1}}\not\Leftrightarrow \cfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}\)，当 \(x\geqslant 1\)时， \(\sqrt{\cfrac{x-1}{x+1}}\Leftrightarrow \cfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}\)；

⑦ \(2^{\log_2x}\not\Leftrightarrow x\)；当 \(x>0\) 时， \(2^{\log_2x}\Leftrightarrow x\)；

【相同函数的判断】下列各组函数是同一函数的是 【\(\qquad\)】

① \(f(x)=\sqrt{-2x^3}\) 与 \(g(x)=x\sqrt{-2x}\)； ② \(f(x)=x\) 与 \(g(x)=\sqrt{x^2}\)；

③ \(f(x)=x^0\) 与 \(g(x)=\cfrac{1}{x^0}\)； ④ \(f(x)=x^2-2x-1\) 与 \(g(t)=t^2-2t-1\)；

解析： 对于 ① 中的 \(f(x)=\sqrt{-2x^3}\)，由于其定义域应该是 \(-2x^3\geqslant 0\) ，得到 \(x\leqslant 0\)，但是其等价的变形应该为

\(f(x)=\sqrt{-2x^3}=\sqrt{-2x\cdot x^2}=|x|\cdot\sqrt{-2x}=-x\sqrt{-2x}\)，故两个不是同一函数；

对于 ② 中的 \(g(x)=\sqrt{x^2}=|x|\)，故两个不是同一函数；

对于 ③ 中的 \(f(x)=x^0\) 定义域为 \(x\neq 0\) ，应该能简化为 \(f(x)=1\)， \(g(x)=\cfrac{1}{x^0}\) 定义域为 \(x\neq 0\) ，应该也能简化为 \(g(x)=1\)，故定义域和对应法则都相同，故两个是同一函数；

对应 ④ 中的 \(f(x)=x^2-2x-1\) 与 \(g(t)=t^2-2t-1\)，定义域相同，都是\(x\in R\)，解析式也相同，故它们是同一函数，而两者不一样的只是自变量的表达形式，这不影响两个函数是否是同一函数；

综上所述，故选 \(C\) 。