任意四面体的外接球的半径(克列尔(A.L.Crelle)公式)

对任意四面体 ABCD A B C D ，其体积 V V 和外接球半径 R R 满足

其中 p=12(aa1+bb1+cc1) p = 1 2 ( a a 1 + b b 1 + c c 1 ) ， a,a1,b,b1,c,c1 a , a 1 , b , b 1 , c , c 1 分别为四面体的三组对棱的长.

允许我先跑个题且在正文里介绍下近代欧氏几何学中的布洛卡点. 克列尔(1780-1855)法国数学家和数学教育家，布洛卡点早在1816年就被克列尔首次发现，1875年被法国军官布洛卡(Brocard)重新发现此特殊点并用他的名字命名，这才引起莱莫恩，图克等一大批数学家兴趣，一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮.

点 P P 是 △ABC △ A B C 内部一点，若 ∠PAB=∠PBC=∠PCA=α ∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α ，则称 α α 为布洛卡角，点 P P 为布洛卡点.

这里说个特殊情况，当 α=30∘ α = 30 ∘ 时，则此 △ABC △ A B C 为正三角形，这是个看似简单实难的几何题.

V=23a⋅S1S2⋅sinθ V = 2 3 a ⋅ S 1 S 2 ⋅ sin ⁡ θ ，其中， S1,S2 S 1 , S 2 为以 a a 为公共棱的两个面的面积， θ θ 为这两个面所成的二面角.

此式的证明极易，只需要将 V=13Sh V = 1 3 S h 中的 h h 用这两个面的夹角表示即可.

证明：如图所示，过 A A 作四面体外接球的切面