技巧丨均值不等式在极值问题中的应用

解析：两个自然数和是10，情况数不是很多，我们可以依次写出来，分别是1+9=10、2+8=10、3+7=10、4+6=10、5+5=10，一共五种情况，这五种情况的乘积分别是1×9=9、2×8=16、3×7=21、4×6=24、5×5=25，不难发现两个数和为定值时，随着这两个数越来越接近，这两个数的乘积就越来越大，当这两个数相等时取到最大值，所以说对于此题，当这两个数均取5的时候，取到最大值25，即102/4，符合均值不等式的推论，以后可以直接应用。

❖例题：用60米长的铁板围成一个矩形鸡窝，问这个鸡窝的面积最大为多少平方米?

A.900 B.625 C.500 D.225

答案：D

解析：题干提供的信息为矩形的周长一定，求矩形的面积最大是多少，即为长和宽的和一定，求长乘以宽的最大值为多少，符合均值不等式的推论，直接应用。周长是60米，也就是说长加上宽为30米，则当长=宽=15米时，矩形的面积可以取到最大值，为302/4=225平方米，选择D。

一元二次函数求极值

以前我们学过许多一元二次函数求极值的方法，有公式法、多因式分解法、求导法等等，但我们都清楚，这些方法相对来讲比较复杂，现在我们来用均值不等式来求一元二次函数的极值，大家对比一下，会简单很多。

❖例题：某旅行团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团队给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。当旅行团的人数为多少时，旅行社可以获得最大营业额?

解析：分析题干，我们发现旅行社的营业额随着人数的增加和单价的变化而变化，因此我们可以设，超过30人的团队增加了x人，则每个人的单价就变成了(800-10x)元，因此总的营业额用f(x)表示为，f(x)=(30+x)(800-10x)，也就是一元二次函数，求最大营业额，即求一元二次函数的最大值。对应均值不等式的推论我们发现求两个数乘积的最大值，要满足两个数的和为定值，但我们发现30+x+800-10x=830-9x，不为定值，我们想用均值不等式，把两个数的和变为定值即可，因此可以变为f(x)=10(30+x)(80-x)，这样30+x+80-x=110，和为定值，因此当30+x=80-x时，可以取到最大值，此时x=25，人数为55人时旅行社可取到最大营业额。

❖例题：将进货单价为90元的某商品按100元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品如果每个涨价1元，其销售量就会减少10个，为了获得最大利润，售价应定为( )元。

A.110 B.120 C.130 D.150

答案：B

解析：设商品每个涨价x元，每个利润为(10+x)，则销售量为(500-10x)个，因此利润为f(x)=(10+x)(500-10x)=10(10+x)(50-x)，则有10+x+50-x=60为定值，因此当10+x=50-x时，能取到最大利润，此时x=20，则售价为120元，选择B。

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