相干衍射成像的相位复原及重建

根据（6）式，若已知样品密度的傅里叶变换结果，就能够对样品密度进行重建。然而，面阵探测器只能测量变换结果的幅值，缺少变换结果的相位，导致重建无法进行，即CDI中所谓的相位问题。相位问题的实质就是对样品密度进行频率采样时，无法获得频谱的相位信息，使得采样数不足，无法提供足够的样品信息。为了解决相位问题，Sayre[5]指出，可以通过测量每两个衍射（频域）信号之间的强度信息，即将频域采样率扩大一倍，来恢复原频域采样点处的相位信息。这是因为样品密度的自关联函数分布恰好是样品密度分布的两倍大，能够确定自关联函数的信息就足以确定样品的密度分布，该要求的最低限度就是采样率扩大一倍。考虑对（7）式两边进行傅里叶逆变换，即

（8）式结果就是密度的自关联函数。Sayre提出的采样方式就是单纯依据成像数据对相位进行复原，同时需要在成像时对样品过采样，这与目前CDI技术实际采用的方式极为相似。

在Sayre给出了相位复原原理后，Gerchberg等[6]和Fienup[7]提出了具体的相位复原迭代算法。该迭代算法的原理是同时利用测量的成像（频域）强度数据和样品密度（空域）的已知信息，如样品的大小等，利用频域与空域的变换关系，反复在频域与空域进行变换，且在每一步变换中施加强度约束（等于测量值）并保留相位，通过反复迭代实现相位复原，具体流程见图2。在Gerchberg等的研究基础上，Fienup给出了分属两大类的多种算法：一类是梯度搜索算法，包括误差递减ER算法、最速下降SD算法等；另一类是输入输出算法，包括基本型输入输出IO算法、混合输入输出HIO算法等。至今，Fienup给出的部分算法依然是CDI相位复原中的主流算法，其他应用广泛的算法还包括Difference Map算法[8]、GHIO（Guided Hybrid Input-Output）算法[9]、RAAR （Relaxed Averaged Alternating Reflectors）算法[10]以及用于动态调整约束的Shrink-Wrap算法[11]。

影响相位复原的一个重要因素是过采样率$\alpha $。过采样率定义为实际采样率与待恢复相位采样率的比值，显然过采样率超过1时，空域的范围超过真实样品的大小，超出部分可认定为零值，零值区域即为空域的约束。从Sayre的方法出发，至少要求在每个维度上过采样率达到2才能实现最基本的相位复原。1998年，Miao等[12]给出了另一种解释。根据（6）式，散射光是对实数密度的傅里叶变换，因此具有中心对称性。若探测面阵像素总数为N，则独立的频域强度数据为N/2，待恢复的频域相位数据亦为N/2，空域已知的零值区为$\left( {1 - 1/\alpha } \right)N$，未知样品区为$N/\alpha $。要唯一求解未知数据，则至少要求已知数据数目等于未知数据数目，等价于要求$\alpha $至少为2，此时对过采样率的要求变为总值不小于2，而对每个维度的过采样率没有要求。根据这个思路，当被变换的电子密度不再是实数时，频域图像不具有对称性，频域的已知与未知数据个数等量变化，最终对$\alpha $的要求依然是不小于2。当然，$\alpha $为2只是最低要求，实际进行迭代计算时很难达到收敛，相关研究指出$\alpha $为3～7时可以得到较好的相位复原结果[13]。

从上述相位复原方法可以看出，频域与空域的变换关系（即（6）式）发挥着核心作用。需要明确指出，（6）式成立的基本条件之一是入射光为相干光，严格地讲即从样品上任意两点出发的散射光在成像面阵上的每个点都是相干叠加的，这样采集到的图像才是样品密度的频域信号。当光源相干性不足时，仅能获得部分样品的频域信息，也就无法重建完整的样品密度分布[14]。正是因为对光源相干性提出了极高的要求，CDI实验仅在高相干性的同步辐射源及近似全相干的X射线自由电子激光（XFEL）源上获得了突破性的研究成果。