排列组合、积事件概率、条件概率、贝叶斯公式、独立事件

排列是指从n个元素中，取出m个，不重复排列的所有可能情况，公式如下： A n m = n ( n − 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! A_n^m=n(n-1)⋅⋅⋅(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} Anm​=n(n−1)⋅⋅⋅(n−m+1)=(n−m)!n!​

比如10个人里取出5个人坐成一排，第一个位置有10种可能，第二个位置有9种可能，第5个位置有6种可能。即： A 10 5 = 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6 = 10 ! 5 ! = 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 A_{10}^5=10*9*8*7*6=\frac{10!}{5!}=\frac{10*9*8*7*6*5*4*3*2*1}{5*4*3*2*1} A105​=10∗9∗8∗7∗6=5!10!​=5∗4∗3∗2∗110∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1​

组合是指从n个元素中，取出m个，不需要排序的情况，公式如下： C n m = A n m A m m = A n m m ! = n ! m ! ( n − m ) ! = C n n − m C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=C_n^{n-m} Cnm​=Amm​Anm​​=m!Anm​​=m!(n−m)!n!​=Cnn−m​

参考视频 《古典概型（排列组合）理论【板书】》

举个例子，袋里有两个白球，一个黑球，不放回摸两次，问:

解：设 A A A = 第一次摸到白球， B B B = 第二次摸到白球

（1）就是求事件 A B AB AB的概率，它等价于，同时摸两个球，摸到的都是白球，所以概率 P ( A B ) = C 2 2 C 3 2 = 1 3 P(AB)=\cfrac{C_2^2}{C_3^2}=\cfrac{1}{3} P(AB)=C32​C22​​=31​ 或者说，第一次摸到白球的概率是 2 3 \frac2 3 32​，第二次摸到白球的概率是 1 2 \frac1 2 21​，相乘得到 1 3 \frac1 3 31​， P ( A B ) = P ( A ) ∗ P ( B ∣ A ) = 2 3 ∗ 1 2 = 1 3 P(AB)=P(A)∗P(B|A)=\frac2 3 * \frac1 2= \frac{1}{3} P(AB)=P(A)∗P(B∣A)=32​∗21​=31​

（2）是求在 A A A已经发生的条件下， B B B发送的概率，即 P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A), 也就是说第一次已经摸掉了一个白球，那么在第二次摸的时候，只有一个黑球，一个白球，于是 P ( B ∣ A ) = 1 2 P(B|A)=\cfrac{1}{2} P(B∣A)=21​

P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) = 1 3 2 3 = 1 2 P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\cfrac{1}{3}}{\cfrac{2}{3}}=\cfrac{1}{2} P(B∣A)=P(A)P(AB)​=32​31​​=21​

公式变形

P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)​

P ( A B ) = P ( B ∣ A ) ∗ P ( A ) P(AB)=P(B|A)*P(A) P(AB)=P(B∣A)∗P(A)

P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B)=\cfrac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB)​

P ( A B ) = P ( A ∣ B ) ∗ P ( B ) P(AB)=P(A|B)*P(B) P(AB)=P(A∣B)∗P(B)

假设样本总空间是 Ω A B Ω_{AB} ΩAB​，事件A已经发生时，样本空间不再是 Ω A B Ω_{AB} ΩAB​，而是 Ω A Ω_A ΩA​。 由于A、B不是独立事件， P ( A B ) = P ( A ) ∗ P ( B ∣ A ) = P ( B ) ∗ P ( A ∣ B ) ≠ P ( A ) ∗ P ( B ) P(AB)=P(A)∗P(B|A)=P(B)∗P(A|B) \not =P(A)*P(B) P(AB)=P(A)∗P(B∣A)=P(B)∗P(A∣B)​=P(A)∗P(B)

条件概率 https://www.bilibili.com/video/av36206436?p=11 乘法公式 https://www.bilibili.com/video/av36206436?p=12 全概率公式 https://www.bilibili.com/video/av36206436?p=13 贝叶斯公式 https://www.bilibili.com/video/av36206436?p=14

事件 A A A发生的概率不受事件 B B B发生的影响 即 ， P ( A ∣ B ) = P ( A ) ， 那 么 P ( A B ) = P ( B ) ∗ P ( A ∣ B ) = P ( B ) ∗ P ( A ) 即，P(A|B)=P(A)，那么P(AB)=P(B)∗P(A|B)=P(B)∗P(A) 即，P(A∣B)=P(A)，那么P(AB)=P(B)∗P(A∣B)=P(B)∗P(A)