同济《高等数学》

大家好，这次分享的是同济《高等数学》——第三章 微分中值定理与导数的应用的知识梳理。第一部分微分中值定理是理论基础，第二部分是对函数的形态进行研究。在微分学中，微分中值定理的伟大意义就在于建立了导数和原函数的联系，也是建立了局部（区间内一点的导数）和整体（整个区间）的联系。

准确的来说，Rolle、Lagrange、Cauchy定理建立了一阶导数和原函数的关系，对于高阶导数和原函数的关系会用Taylor中值定理，下面我们由浅入深的研究微分中值定理部分。

首先分析一下费马引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理之间关系：

最明显可以发现Rolle定理相比Lagrange定理多了一个端点值相等的条件，lagrange的定理条件更一般化，说明Lagrange定理是Rolle定理的推广，Rolle定理是Lagrange定理的特例；当我们把Lagrange定理的换成参数方程，就得到了Cauchy定理，这说明Cauchy定理是Lagrange定理的推广，Lagrange定理是Cauchy定理的特例，三个中值定理的关系层层递进。

【碎碎念】关于为什么要强调闭区间连续，开区间可导，不妨想想证明中值定理的证明过程中用到了哪两个基本定理，我就从这两个定理着手分析，第一个是最值定理，严格来说有限闭区间上的最值定理，为什么不是开区间呢？y=tanx就是一个很好的例子，所以如果想要在区间[a,b]内找到最值点，闭区间连续是一定要满足的；第二个就是费马引理要求区间内的一点x有定义且可导，若为闭区间可导，区间端点就只可能存在左或右极限，端点处不满足，我们都知道可导的充要条件是左右导数存在且相等，若开区间可导就很好的满足了区间内所有点都可导，因此强调闭区间连续，开区间可导是很有必要的。

下面我们分析一下高阶导数和原函数的关系——泰勒中值定理，泰勒中值定理的伟大意义不仅仅建构了高阶导数和原函数的关系，也是利用了多项式逼近一般原函数，是以直代曲的核心思想体现。泰勒公式分为皮亚诺型和拉格朗日型，两者的泰勒公式条件不同，余项不同，皮亚诺型要求在点x0处n阶可导，拉格朗日型要求点x0在区间(a，b)上n+1阶可导，因此皮亚诺型也被称为局部泰勒公式，在x0的邻域内误差比较小，一般可以用来研究极限，极值问题；拉格朗日型要求点x0在区间(a，b)上n+1阶可导，因此拉格朗日型也被称为整体泰勒公式，一般可以用来研究最值，不等式问题。