0403分部积分法

分部积分法由两个函数乘积推导得出。

设函数 u = u ( x ) 及 v = v ( x ) u=u(x)及v=v(x) u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为

( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)^{'}=u^{'}v+uv^{'} (uv)′=u′v+uv′,移项得 u ′ v = ( u v ) ′ − u v ′ u^{'}v=(uv)^{'}-uv^{'} u′v=(uv)′−uv′,不等式两边求积分得

∫ u v ′ d x = u v − ∫ u ′ v d x \int{uv^{'}dx}=uv-\int{u^{'}vdx} ∫uv′dx=uv−∫u′vdx (3-1)

公式(3-1)称为分部积分公式，利用微分简化为:

∫ u d v = u v − ∫ v d u \int{udv}=uv-\int{vdu} ∫udv=uv−∫vdu (3-2)

注：选取的积分 ∫ u d v 要比 ∫ v d u \int{udv}要比\int{vdu} ∫udv要比∫vdu容易求积分

例1 求 ∫ x sin ⁡ x d x \int{x\sin xdx} ∫xsinxdx

解 : ∫ x sin ⁡ x d x = − ∫ x d cos ⁡ x = − x cos ⁡ x + ∫ cos ⁡ x d x = − x cos ⁡ x + sin ⁡ x + C 解:\int{x\sin xdx}=-\int{xd\cos x}=-x\cos x+\int{\cos xdx}\\ =-x\cos x+\sin x+C 解:∫xsinxdx=−∫xdcosx=−xcosx+∫cosxdx=−xcosx+sinx+C

例2 求 ∫ x e x d x \int{xe^xdx} ∫xexdx

解： ∫ x e x d x = ∫ x d e x = x e x − ∫ e x d x = x e x − e x + C 解：\int{xe^xdx}=\int{xde^x}=xe^x-\int{e^xdx}\\ =xe^x-e^x+C 解：∫xexdx=∫xdex=xex−∫exdx=xex−ex+C

例3 求 ∫ x 2 e x d x \int{x^2e^xdx} ∫x2exdx 解： ∫ x 2 e x d x = ∫ x 2 d e x = x 2 e x − ∫ e x d x 2 = x 2 e x − 2 ∫ x e x d x = x 2 e x − 2 ( x e x − e x ) + C = x 2 e x − 2 x e x + 2 e x + C = e x ( x 2 − 2 x + 2 ) + C 解：\int{x^2e^xdx}=\int{x^2de^x}=x^2e^x-\int{e^xdx^2}\\ =x^2e^x-2\int{xe^xdx}=x^2e^x-2(xe^x-e^x)+C\\ =x^2e^x-2xe^x+2e^x+C=e^x(x^2-2x+2)+C 解：∫x2exdx=∫x2dex=x2ex−∫exdx2=x2ex−2∫xexdx=x2ex−2(xex−ex)+C=x2ex−2xex+2ex+C=ex(x2−2x+2)+C

∫ x n e x d x = e x ∑ k = 0 n ( − 1 ) k C n k x n − k + C \int{x^ne^xdx}=e^x\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^kx^{n-k}+C ∫xnexdx=exk=0∑n​(−1)kCnk​xn−k+C

如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或者幂函数和指数函数的乘积，考虑用分部积分法，并设幂函数为u。

例4 求 ∫ x ln ⁡ x d x \int{x\ln xdx} ∫xlnxdx

解 : ∫ x ln ⁡ x d x = 1 2 ∫ ln ⁡ x d x 2 = 1 2 x 2 ln ⁡ x − 1 2 ∫ x 2 d ln ⁡ x = 1 2 x 2 ln ⁡ x − 1 2 ∫ x d x = 1 2 x 2 ln ⁡ x − 1 4 x 2 + C 解:\int{x\ln xdx}=\frac{1}{2}\int{\ln xdx^2}=\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{2}\int{x^2d\ln x}\\ =\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{2}\int{xdx}=\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{4}x^2+C 解:∫xlnxdx=21​∫lnxdx2=21​x2lnx−21​∫x2dlnx=21​x2lnx−21​∫xdx=21​x2lnx−41​x2+C

例5 求 ∫ arcsin ⁡ x d x \int{\arcsin xdx} ∫arcsinxdx

∫ arcsin ⁡ x d x = x arcsin ⁡ x − ∫ x d arcsin ⁡ x = x arcsin ⁡ x − ∫ x 1 − x 2 d x = x arcsin ⁡ x + 1 − x 2 + C \int{\arcsin xdx}=x\arcsin x-\int{xd\arcsin x}\\ =x\arcsin x-\int{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx}\\ =x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C ∫arcsinxdx=xarcsinx−∫xdarcsinx=xarcsinx−∫1−x2 ​x​dx=xarcsinx+1−x2 ​+C

如果被积函数是幂函数和对数函数或者幂函数和反三角函数的乘积，考虑用分部积分法，并设幂函数为u。

例6 求 ∫ e x sin ⁡ x d x \int{e^x\sin xdx} ∫exsinxdx 解： I = ∫ e x sin ⁡ x d x = ∫ sin ⁡ x d e x = e x sin ⁡ x − ∫ e x d sin ⁡ x = e x sin ⁡ x − ∫ e x cos ⁡ x d x = e x sin ⁡ x − ( e x cos ⁡ x + ∫ e x sin ⁡ x d x ) I = 1 2 e x ( sin ⁡ x − cos ⁡ x ) + C 解：I=\int{e^x\sin xdx}=\int{\sin xde^x}=e^x\sin x-\int{e^xd\sin x}\\ =e^x\sin x-\int{e^x\cos xdx}=e^x\sin x-(e^x\cos x+\int{e^x\sin xdx})\\ I=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C 解：I=∫exsinxdx=∫sinxdex=exsinx−∫exdsinx=exsinx−∫excosxdx=exsinx−(excosx+∫exsinxdx)I=21​ex(sinx−cosx)+C

u u u的选取顺序：反三角函数->对数函数->幂函数->指数函数->三角函数

或者反三角函数->对数函数->幂函数->三角函数->指数函数

​ 例7： ∫ s e c 3 x d x \int{sec^3xdx} ∫sec3xdx 解： I = ∫ s e c 3 x d x = ∫ sec ⁡ x d tan ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x − ∫ tan ⁡ x d sec ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x + ∫ sec ⁡ x d x − ∫ sec ⁡ 3 x d x I = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C 解：I=\int{sec^3xdx}=\int{\sec xd\tan x}=\sec x\tan x-\int{\tan xd\sec x}\\ =\sec x\tan x+\int{\sec xdx}-\int{\sec^3xdx}\\ I=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C 解：I=∫sec3xdx=∫secxdtanx=secxtanx−∫tanxdsecx=secxtanx+∫secxdx−∫sec3xdxI=21​secxtanx+21​ln∣secx+tanx∣+C 例8 求 ∫ sin ⁡ n x d x \int{\sin^nxdx} ∫sinnxdx 解： I = ∫ sin ⁡ n x d x = − ∫ sin ⁡ n − 1 x d cos ⁡ x = − cos ⁡ x sin ⁡ n − 1 x + ∫ cos ⁡ x d sin ⁡ n − 1 x = − sin ⁡ n − 1 cos ⁡ x + ( n − 1 ) ∫ sin ⁡ n − 2 ) x d x − ( n − 1 ) ∫ sin ⁡ n x d x ∫ sin ⁡ n x d x = − 1 n sin ⁡ n − 1 x cos ⁡ x + n − 1 n ∫ sin ⁡ n − 2 x d x 解：I=\int{\sin^nxdx}=-\int{\sin^{n-1}xd\cos x}=-\cos x\sin^{n-1}x+\int{\cos xd\sin^{n-1}x}\\ =-\sin^{n-1}\cos x+(n-1)\int{\sin^{n-2)}xdx}-(n-1)\int{\sin^nxdx} \\ \int{\sin^nxdx}=-\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}\int{\sin^{n-2}xdx} 解：I=∫sinnxdx=−∫sinn−1xdcosx=−cosxsinn−1x+∫cosxdsinn−1x=−sinn−1cosx+(n−1)∫sinn−2)xdx−(n−1)∫sinnxdx∫sinnxdx=−n1​sinn−1xcosx+nn−1​∫sinn−2xdx

∫ cos ⁡ n x d x = 1 n cos ⁡ n − 1 x sin ⁡ x + n − 1 n ∫ cos ⁡ n − 2 x d x \int{\cos^nxdx}=\frac{1}{n}\cos^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}\int{\cos^{n-2}xdx} ∫cosnxdx=n1​cosn−1xsinx+nn−1​∫cosn−2xdx

例10 求 ∫ e x d x \int{e^{\sqrt{x}}dx} ∫ex ​dx 解 : 令 t = x , x = t 2 , d x = 2 t d t ∫ e x d x = ∫ e t ⋅ 2 t d t = 2 ∫ t d e t = 2 t e t − 2 ∫ e t d t = 2 t e t − 2 e t + C = 2 e x ( x − 1 ) + C 解:令t=\sqrt{x},x=t^2,dx=2tdt \\ \int{e^{\sqrt{x}}dx}=\int{e^t\cdot2tdt}=2\int{tde^t}\\ =2te^t-2\int{e^tdt}=2te^t-2e^t+C=2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+C 解:令t=x ​,x=t2,dx=2tdt∫ex ​dx=∫et⋅2tdt=2∫tdet=2tet−2∫etdt=2tet−2et+C=2ex ​(x ​−1)+C

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P208~p212.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p29.