[原创]2013年上海高考题（理科）第13题讲评

2013年上海高考题（理科）第13题讲评

大罕

   题目：在xoy平面上，将两个半圆弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2 +y2=1(x≥3)、两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π√(1-y2)+8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________.   

   解答：根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，另一个高为2，底面面积为8π的长方体，将这两个几何体与Ω放在一起.用垂直于y轴且

与x轴距离为y的平面去截这两个几何体.对于平放的圆柱，截面为长2π、宽2√(1-y2)的矩形，故截面面积为4π√(1-y2)；对于长方体，截面面积总为8π.于是圆柱和长方体的截面面积之和为4π√(1-y2)+8π，与几何体Ω的截面面积相等.由祖暅原理，所以两者的体积相等.而后者的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π，所以Ω的体积为2π2+16π.   

    点评：这道题的采用，大出人们意料.祖暅原理在教材中提到过.构造新几何体使其截面积处处都等于原几何体的截面面积，做这件事情并不容易，历来被人们划入“深水区”.教学中使用此原理推导出锥体体积公式后，一般会置之高阁，再也不予理会，更谈不上去训练它.     命题人充分考虑到了这一点，特意在题中作了明确提示：构造一个平放的圆柱和一个长方体. 由于截面面积4π√(1-y2)+8π面目可憎，或者说没有亲和力，必然让学生却步. 稍好的学生想当然地用“割补法”(把右边的实心半圆填补到左边的空白半圆中去，组成一个矩形，再加以旋转，）以为这是捷径，却纷纷落入陷阱！      值得商榷的是：使用教材中的“偏僻内容”作为“创新题材”，可以不可以？是不是拟造创新题的一个好的方向？

   （以下的动画，由华中师范大学彭翕成老师帮忙，请他的朋友方小庆老师绘制.这里致谢！）