方阵的特征值、特征向量以及特征多项式和特征方程

定义：设 A \bf A A是 n n n阶矩阵，如果数 λ \lambda λ和 n n n维非零列向量 x \bf x x使得关系式

A x = λ x (1a) {\bf{Ax = }}\lambda {\bf{x}} \tag{1a} Ax=λx(1a) 成立，那么，这样的数 λ \lambda λ称为矩阵 A \bf A A的特征值，非零向量 x \bf x x称为矩阵 A \bf A A所对应于特征值 λ \lambda λ的特征向量。

式（1a）也可写作： ( A − λ E ) x = 0 (1b) \bf{(A-\lambda E)x=0} \tag{1b} (A−λE)x=0(1b) 这是 n n n个未知数 n n n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 ∣ A − λ E ∣ = 0 (2a) {\bf{|A-\lambda E|}} =0\tag{2a} ∣A−λE∣=0(2a) 即 ∣ a 11 − λ a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 − λ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n − λ ∣ = 0 (2b) \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}{{a_{11}} - \lambda }&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}} - \lambda }& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}} - \lambda }\end{array}} \right| = 0 \tag{2b} ​a11​−λa21​⋮an1​​a12​a22​−λ⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​−λ​ ​=0(2b)

式(2)是以 λ \lambda λ为未知数的一元 n n n次方程，称为矩阵 A \bf A A的特征方程。

特征方程的左端 ∣ A − λ E ∣ \bf{|A-\lambda E|} ∣A−λE∣是 λ \lambda λ的 n n n次多项式，记作 f ( λ ) f(\lambda) f(λ),称为矩阵 A \bf{A} A的特征多项式。 即 f ( λ ) = ∣ A − λ E ∣ = ∣ a 11 − λ a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 − λ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n − λ ∣ f(\lambda ) = |{\bf{A}} - {\bf{\lambda E}}| = \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}{{a_{11}} - \lambda }&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}} - \lambda }& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}} - \lambda }\end{array}} \right| f(λ)=∣A−λE∣= ​a11​−λa21​⋮an1​​a12​a22​−λ⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​−λ​ ​

若特征多项式为 f ( λ ) f(\lambda ) f(λ)，则特征方程为： f ( λ ) = 0 f(\lambda ) = 0 f(λ)=0

根据矩阵的特征值的定义，易知，矩阵 A \bf A A的特征值就是矩阵 A \bf A A的特征方程 f ( λ ) = 0 f(\lambda ) = 0 f(λ)=0的解。 特征方程在复数范围内恒有解，其解的个数为特征方程的次数（重根按重数计算），因此， n n n阶矩阵 A \bf A A在复数范围内有 n n n个特征值，或者说矩阵 A \bf A A的特征方程有 n n n个解。

设 n n n阶矩阵 A = ( a i j ) {\bf{A}} = ({a_{ij}}) A=(aij​)的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n {\lambda _1},{\lambda _2}, \cdots ,{\lambda _n} λ1​,λ2​,⋯,λn​ 则这些特征值有以下性质： 性质（1）：特征值之和等于其对角线元素之和。 λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n {\lambda _1} + {\lambda _2} + \cdots + {\lambda _n} = {a_{11}} + {a_{22}} + \cdots + {a_{nn}} λ1​+λ2​+⋯+λn​=a11​+a22​+⋯+ann​

性质（2）：矩阵A特征值之积等于其行列式的值。 λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ {\lambda _1}{\lambda _2} \cdots {\lambda _n} = |{\bf{A}}| λ1​λ2​⋯λn​=∣A∣