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导数规则
衍生规则和法律。函数的导数表。 导数定义 导数规则 函数导数表 衍生范例 导数定义当Δx无限小时,函数的导数是点x +Δx和点x处函数值f(x)与Δx之差的比率。导数是函数斜率或点x处切线的斜率。
二阶导数 二阶导数由下式给出:
或者简单地导出一阶导数: N阶导数 所述Ñ阶导数是由导出F(X)n倍来计算。 第n个导数等于(n-1)个导数的导数: f (n)(x)= [ f (n -1)(x)]' 例:找出的四阶导数 f(x)= 2 x 5 f (4)(x)= [2 x 5 ]''''= [10 x 4 ]'''= [40 x 3 ]''= [120 x 2 ]'= 240 x 功能图上的导数函数的导数是切线的斜率。 导数规则 导数和规则(af(x)+ bg(x))'= af'(x)+ bg'(x) 衍生产品规则(f(x)∙ g(x))'= f'(x)g(x)+ f(x)g'(x) 导数商法则 导数链规则f(g(x))'= f'(g(x))∙ g'(x) 导数和规则当a和b为常数时。 (af(x)+ bg(x))'= af'(x)+ bg'(x) 例:查找以下项的导数: 3 x 2 + 4 x。 根据总和规则: a = 3,b = 4 f(x)= x 2,g(x)= x f'(x)= 2 x ,g'(x)= 1 (3 X 2 + 4 X)” =3⋅2 X +4⋅1= 6 X + 4 衍生产品规则(f(x)∙ g(x))'= f'(x)g(x)+ f(x)g'(x) 导数商法则导数链规则 f(g(x))'= f'(g(x))∙ g'(x) 使用拉格朗日的符号可以更好地理解此规则: 函数线性逼近 对于小Δx,当我们知道f(x 0)和f'(x 0)时,我们可以获得f(x 0 +Δx)的近似值: ˚F(X 0 +Δ X)≈ ˚F(X 0)+ ˚F “(X 0)⋅Δ X 函数导数表 功能名称 功能 衍生物f(x) f '(x) 不变const 0 线性的x 1 功率X一 斧a- 1 指数的Ë X Ë X 指数的一个X 一个X LN一 自然对数ln(x) 对数 对数b(x) 正弦波 罪恶x cos x 余弦cos x -罪x 切线谭X 反正弦 阿克辛x 反余弦 arccos x 反正切 arctan x 双曲正弦的sinh X cosh x 双曲余弦cosh x 的sinh X 双曲正切tanh x 反双曲正弦 正弦-1 x 反双曲余弦 cosh -1 x 反双曲正切 tanh -1 x 衍生范例 例子1 f(x)= x 3 +5 x 2 + x +8 F' (X)= 3 X 2 +2⋅5 X + 1 + 0 = 3 X 2 10 X 1 范例#2f(x)= sin(3 x 2) 应用链式规则时: f'(x)= cos(3 x 2)⋅[3 x 2 ]'= cos(3 x 2)⋅6 x 二阶导数测试当函数的一阶导数在点x 0处为零时。 f '(x 0)= 0 然后,在点x 0处的二阶导数f''(x 0)可以指示该点的类型:
f ''(x 0)/ 0 局部最小值f ''(x 0) |
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