图解三重积分的对称性

关于三重积分详见：三重积分(Triple Integral) 三重积分的对称性原理与二重积分类似，关于二重积分的对称性详见：图解二重积分的对称性

被积函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)可以有不同的物理意义，本文以体密度为例，容易在三维空间可视化。 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)表示点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的密度大小。其实在图中积分区域上可以用颜色深浅表示密度大小，画图有些繁琐，故图中并没有可视化被积函数。本文图中只用了两种颜色区分 Ω 1 、 Ω 2 \Omega_1、\Omega_2 Ω1​、Ω2​

密度和质量可以是负数？ 关于这个问题详见：【物理】密度可以为负数吗？有什么意义？——液体密度参照系

轮换对称性意味着积分区域 Ω \Omega Ω的表达式在 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z互换后形式仍不变，即积分与积分变量无关 例：设 Ω = { ( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } \Omega=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\leq1\} Ω={(x,y,z)∣x2+y2+z2≤1}，求 ∭ Ω z 2 d x d y d z = \iiint_{\Omega}z^2dxdydz= ∭Ω​z2dxdydz= 积分区域 Ω \Omega Ω表达式： x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 x^2+y^2+z^2\leq1 x2+y2+z2≤1 在原表达式基础上变量 x 、 y x、y x、y互换后表达式为： y 2 + x 2 + z 2 ≤ 1 y^2+x^2+z^2\leq1 y2+x2+z2≤1，表达式不变 在原表达式基础上变量 y 、 z y、z y、z互换后表达式为： x 2 + z 2 + y 2 ≤ 1 x^2+z^2+y^2\leq1 x2+z2+y2≤1，表达式不变 在原表达式基础上变量 x 、 z x、z x、z互换后表达式为： z 2 + y 2 + x 2 ≤ 1 z^2+y^2+x^2\leq1 z2+y2+x2≤1，表达式不变 通过验证，积分区域具有轮换对称性，则将被积函数中 z z z替换为 x x x和 y y y后积分大小不变 ∭ Ω z 2 d x d y d z = ∭ Ω x 2 d x d y d z = ∭ Ω y 2 d x d y d z \iiint_{\Omega}z^2dxdydz=\iiint_{\Omega}x^2dxdydz=\iiint_{\Omega}y^2dxdydz ∭Ω​z2dxdydz=∭Ω​x2dxdydz=∭Ω​y2dxdydz ∭ Ω z 2 d x d y d z = 1 3 ( ∭ Ω x 2 d x d y d z + ∭ Ω y 2 d x d y d z + ∭ Ω z 2 d x d y d z )   ∭ Ω z 2 d x d y d z = 1 3 ( ∭ Ω x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z ) \iiint_{\Omega}z^2dxdydz=\frac{1}{3}\big(\iiint_{\Omega}x^2dxdydz+\iiint_{\Omega}y^2dxdydz+\iiint_{\Omega}z^2dxdydz\big)\\ ~\\ \iiint_{\Omega}z^2dxdydz=\frac{1}{3}\big(\iiint_{\Omega}x^2+y^2+z^2dxdydz\big) ∭Ω​z2dxdydz=31​(∭Ω​x2dxdydz+∭Ω​y2dxdydz+∭Ω​z2dxdydz) ∭Ω​z2dxdydz=31​(∭Ω​x2+y2+z2dxdydz) 因积分区域为球体，所以使用球坐标系求解较为简单 ∭ Ω x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π d ϕ ∫ 0 R r 2 ⋅ r 2 s i n ϕ d r = 4 5 π R 5 \iiint_{\Omega}x^2+y^2+z^2dxdydz=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}d\phi\int_{0}^{R}r^2\cdot r^2sin\phi dr=\frac{4}{5}\pi R^5 ∭Ω​x2+y2+z2dxdydz=∫02π​dθ∫0π​dϕ∫0R​r2⋅r2sinϕdr=54​πR5 最终结果如下： ∭ Ω z 2 d x d y d z = 1 3 ⋅ 4 5 π R 5 = R=1 4 15 π \iiint_{\Omega}z^2dxdydz=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}\pi R^5\overset{\text{R=1}}{=}\frac{4}{15}\pi ∭Ω​z2dxdydz=31​⋅54​πR5=R=1154​π