三维坐标旋转矩阵

2024-07-17 08:29| 来源: 网络整理| 查看: 265

1.三维坐标旋转矩阵的推导过程

任何维的旋转可以表述为向量与合适尺寸的方阵的乘积。最终一个旋转等价于在另一个不同坐标系下对点位置的重新表述。坐标系旋转角度θ则等同于将目标点围绕坐标原点反方向旋转同样的角度θ。

若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。

假设三维坐标系(右手坐标系,拇指即指向X轴的正方向。伸出食指和中指，如右图所示，食指指向Y轴的正方向，中指所指示的方向即是Z轴的正方向。要确定轴的正旋转方向，用右手的大拇指指向轴的正方向，弯曲手指。那么手指所指示的方向即是轴的正旋转方向)中的某一向量 $\vec{OP}=(x,y,z)^{T}$ ，其在直角坐标系中的图如图1所示。其中点P在XY平面、XZ平面、YZ平面的投影分别为点M、点N、点Q。

这里写图片描述

一、绕Z轴逆时针旋转θ角绕Z轴旋转，相当于在XY平面的投影OM绕原点逆时针旋转，如下图所示，OM旋转θ角到OM’。这里写图片描述

设旋转前的坐标为 $(x,y,z)^{T}$ ，旋转后的坐标为 $(x',y',z')^{T}$ ，则点M的坐标为，点M’的坐标为 $(x,y)^{T}$ 。由此可得：

$x=OMcos\varphi$ 　　　　　　 $y=OMsin\varphi$ 　　　 $x'=OM'cos(\varphi +\theta )$ 　　 $y'=OM'sin(\varphi +\theta )$

对于和进行三角展开可得： $x'=OM(cos\varphi cos\theta -sin\varphi sin\theta )=xcos\theta -ysin\theta$ $y'=OM(sin\varphi cos\theta +cos\varphi sin\theta )=ycos\theta +xsin\theta$

且有 z'=z ;可得绕Z轴旋转角的旋转矩阵为： $R_{z}(\theta )=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 由此可得：二. 绕X轴逆时针旋转θ角

$R_{x}(\theta )=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0\\ 0& cos\theta &-sin\theta \\ 0& sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

三. 绕Y轴逆时针旋转θ角

$R_{y}(\theta )=\begin{bmatrix} cos\theta & 0& sin\theta\\ 0& 1 &0 \\ -sin\theta&0 & cos\theta \end{bmatrix}$

以上旋转矩阵都是在右手坐标系下计算的。三维旋转矩阵就可由以上三个矩阵相乘得到。这里的旋转矩阵是需要左乘的，而且以逆时针为正。R是一个旋转矩阵，X是一个三维列向量[x,y,z]’。 RX就是把X旋转。

$M=R_{x}(\theta )R_{y}(\theta )R_{z}(\theta )$

参考：

http://blog.csdn.net/qiuqchen/article/details/21980731

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