如何求角平分线长？

我来写两个高中生比较容易理解的方法：

考虑三角形 ABC ，其中 AD 平分角 A ， D 在 BC 上

记 \angle BAD=\theta

据 S_{\Delta ABC}=S_{\Delta ABD}+S_{\Delta ACD} 知

b\cdot AD\sin \theta+c\cdot AD\sin \theta=bc\sin 2\theta

从而

\begin{align} AD=\frac{2bc\cos \theta}{b+c}=&\frac{2bc\sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}}}{b+c}\\ =&\frac{2bc\sqrt{\frac{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}}}{b+c}\\ =&\frac{\sqrt{bc(b+c-a)(b+c+a)}}{b+c} \end{align}

根据角平分线的性质有 \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD} ，使用平面向量的简单关系就可以得到

\vec{AD}=\frac{b}{b+c}\vec{AB}+\frac{c}{b+c}\vec{AC}

两边平方得

\begin{align} AD^2=&\frac{b^2c^2+c^2b^2}{(b+c)^2}+\frac{2bc}{(b+c)^2}\vec{AB}\cdot\vec{AC}\\ =&\frac{2b^2c^2}{(b+c)^2}+\frac{2bc}{(b+c)^2}\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2}\\ =&bc\left( \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{(b+c)^2} \right)\\ =&\frac{\sqrt{bc(b+c-a)(b+c+a)}}{b+c} \end{align}