中考数学圆精讲及习题(附答案)

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中考数学《圆》知识详解

知识点一、圆的定义及有关概念[来源:学&科&网Z&X&X&K]

1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

例 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．

解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm.

知识点二、平面内点和圆的位置关系

平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内

AdrBdCO当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点A在圆外。 当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点B在圆上。 当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点C在圆内。

例 如图，在Rt△ABC中，直角边AB?3，BC?4，点E，F分别是BC，AC-可编辑修改-

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的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_________，点F在圆A的_________．

解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部

，?4)．试判断点P(3，?1)与圆O的位置练习：在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(?1关系．

答案：点P在圆O上．

知识点三、圆的基本性质

1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD

COABCBADOED3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 4、圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①?AOB??DOE；②AB?DE；

③OC?OF；④ 弧BA?弧BD

5、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。[来源:学科即：

BOAOEFDCBC∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴?AOB?2?ACB 6、圆周角定理的推论：

-可编辑修改-

ADCBOA。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O中，∵?C、?D都是所对的圆周角 ∴?C??D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC中，∵OC?OA?OB

∴△ABC是直角三角形或?C?90?

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

例1 如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，?根据垂径定理，有R2=d2+（

例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( ) A、60° B、45° C、30° D、15° 解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A

例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

BOACCBOAa）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C 2-可编辑修改-

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AFMPECAEBNDODNBPM

FC

(1) (2)

解题思路：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，?只要说明它们的一半相等． 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF

连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD

例4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

解题思路：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，?只要连结

AAD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

O-可编辑修改-

CDBwww.czsx.com.cn。

解：BD=CD

理由是：如图24－30，连接AD

∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD

知识点四、圆与三角形的关系

1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。

3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。 4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。

5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。

例1 如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24－49所示，A、B、C?为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，?要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

AC解题思路： 连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线即为垃圾回收站所在的位置．

例2 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°， 则∠BOC=（ ）

A．130° B．100° C．50° D．65°

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的交点

解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A

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