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本文通过案例介绍了正态分布和贝塔分布的概念。

正态分布

正态分布，是一种非常常见的连续概率分布，其也叫做常态分布（normal distribution）,或者根据其前期的研究贡献者之一高斯的名字来称呼，高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。

各种各样的心理学测试结果和物理现象的观测值，比如光子计数等都被发现近似地服从正态分布。甚至生活中很多现象的表征结果也符合正态分布的分布规律。尽管这些现象的根本原因经常是未知的，甚至被采样的样本的原始群体分布并不服从正态分布，但这个变量的采样分布均值仍会近似服从正态分布。

正态分布的概率密度函数呈左右对称的钟形，其具体表达式为：

因为正态分布是如此的常见而这个式子是如此的奇怪，我们打算重温高斯当年的推导过程，但部分细节不会那么严谨的证明，只是带领大家看看高斯当年的思路是如何的。

首先，高斯事先假定了如下条件，才得到了正态分布的连续密度函数。

即： 误差分布导出的极大似然估计 = 算术平均值

这里我们把全部过程用直白的语言复述一遍。

设某物理量真值为   , 而这里我们由于误差等原因，没办法测量得到真值，所以只能对 进行一系列的观测，打算从这些观测值来推断真值。设 为n次独立的观测测量值。站在上帝视角，我们知道每次测量的误差为 ，假设误差 的概率密度函数为   , 如果我们有办法求得   的一般形式，就求得了正态分布（实际上是观测误差的概率分布）的密度分布函数。所以我们的最终目的就是求    的解析表达式。

这些测量值们的联合概率为 个误差的联合概率，记为

我们应该让    取最大值。为求极大似然估计，令

整理后可以得到

别忘了，我们是要从上面的式子想办法求   。令