数学

一、基本定义

二、同角三角函数基本关系

三、特殊值

四、诱导公式

五、基本公式

六、和差角公式

七、倍角公式和半角公式

八、积化和差和和差化积公式

九、万能公式

设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则有：

由上边的式子可以直接得出以下三个关系式(倒数关系)：

还可以得出如下商的关系：

结合勾股定理，我们还可以得到下述平方关系：

这些关系式很简单，就不推导了。

当这篇文章读完之后，你一定可以推导出下表中任何一个值。

我不推荐大家记这个表，而是希望大家先熟悉一下最基本的三个三角函数(sin、cos和tan)的性质，然后再讨论遇到类似问题如何最快速地推导。

①正弦函数是奇函数，最小正周期为2π，其导函数为余弦函数；

②余弦函数是偶函数，最小正周期为2π，其导函数为正弦函数的相反数；

③正切函数是奇函数，最小正周期为π。

诱导公式的目的是什么呢？就是将sin(kπ/2+α)中π/2的整数倍去掉，仅保留α。因此我们可以按照上述性质一步步地化简：

①按照其奇偶性，将α变为负值；

②根据正弦/余弦函数的周期性，将2π的整数倍全部去掉。若此时被加数为负，则再加上2π；

③若被加的数绝对值仍不小于π，就将其绝对值直接减去π，然后取负号；

利用公式[公式]和[公式]得出结果。

可以看出，按照这个步骤，完全不需要记忆那么多公式，甚至连「奇变偶不变，负号看象限」都不需要，只要按部就班地做就可以得到正确答案。而正切函数更简单，因为其最小正周期是π，因此最后只有加不加π/2的问题。

下面看一个最基本的公式，这个公式很自然，但是确实下边各个公式推导的基础。

平面上两个单位向量，与x轴正向夹角分别为x和y，则这两个向量分别为(cosx,sinx)、(cosy,siny)。则这两个向量的点积为cosx*cosy+sinx*siny，而点积又可以表示为1*1*cos(x-y) = cos(x-y)，于是我们得到了以下公式：

这就是最基本的公式。从向量的角度，这个公式也是很自然的。

将(1)中的y用-y代入，即可得到

将(1)中的x用π/2-x代，再利用诱导公式，可以得到正弦函数的和差角公式：

(3)式的y代成-y，有

(3)/(2),(4)/(1),得到正切函数的和差角公式：

有了“六、和差角公式”中的式子，令x = y，很容易得到倍角公式和半角公式：

注意到(8)式，由平方关系又可以写成2cos^2x-1或1-2sin^2x。所以我们就有半角公式(也叫降幂公式)：

两式相除，得

回头看看(3)式和(4)式，两式相加得到

而相减则得

(1)+(2)、(1)-(2)同样可以得到两个积化和差的公式：

然后在上式中，令u = x+y、v = x-y。此时x = (u+v)/2，y = (u-v)/2，立刻就得到了四个和差化积公式：

万能公式是将sinx、cosx和tanx均用tan(x/2)表示。由于后者的值域为整个实数区间，因此方便考察许多性质。

首先我们知道，tanx的万能公式就是其二倍角公式(9)式。我们试着推导一下余弦函数的万能公式。

正弦的就简单了，两个一乘就行：