数学方法小论（三）：反三角函数，是什么东西？

刘维尔说：反三角函数也是基本初等函数！

实际上，在我们了解了幂函数和指数函数之后，一阶微分方程的通解里会出现以e为底的指数函数，欧拉公式联系了指数函数和三角函数，这个函数体系似乎已经比较完美了，那么基本初等函数为什么要把指数函数和三角函数的反函数也包括进来呢？——如果说，一般五次幂函数的反函数求不出来的话（因为一般的一元五次方程没有解析解啦），指数函数和三角函数的反函数不也“求不出来”嘛？你引入它干啥？实际上，除了生产生活需要大量使用表示以外，它俩是一些函数不定积分的常客——你总不能让双曲线y=1/x和圆y=sqrt(1-x^2)的曲边梯形面积求不出来吧？正是因为这两个反函数的导函数能用幂函数的复合函数表示出来，刘维尔才把它俩归到了基本初等函数里边……吧？除此之外，人们发现有一种函数特别有意思，它就是双曲函数，这个函数我可能以后会谈一谈，而双曲函数的反函数也能用对数函数表示！看来不把这两种函数归进去真是没天理了。

今天的废话就到此为止，接下来我详细说说反三角函数。

反三角函数是三角函数的反函数，但如果我们不允许存在多值函数的话，只有严格单调的函数才有反函数（这句话并不严谨，比如y=1/x也有反函数，但比较切合实际），因此把三角函数的定义限制在一些单调区间上，它的反函数就是单调且单值对应的了。

为了研究方便，我们将反正弦函数和反正切函数的值限制在[-π/2,π/2],将反余弦函数和反余切函数的值限制在[0,π],将反正割函数的值限制在[0,π/2)∪(π/2,π],将反余割函数的值限制在[-π/2,0)∪(0,π/2]

注意，这里的限制还是有比较提上两句的。如果有这么个函数y=x^2,它的反函数是啥？y=±√x。x=4对应两个y值±2，如果我们把它限制成单值函数，一个方案是限制值在负和非负两段，还有一些比较鬼畜的方案比方说下面这个，都是可以的：

我们要研究哪一段的值，决定了这个反函数定义域如何，也决定了原来函数的定义域如何。这似乎有点异常，但它确实是反函数研究的常态。因此，反正弦函数和反余弦函数的定义域是[-1,1],反正切函数和反余切函数的定义域是R，反正割函数和反余割函数的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞)。反函数的值域就是原来函数的定义域，反函数的定义域就是原来函数的值域。

定义域和值域研究完了，还有一个问题：为什么要这么定义呢？

由于我们要研究的角通常是[-π，π]，那么我只研究正角和零角，负角就用反三角函数的负数关系把它算出来不就好了么？

那位最初限制反三角函数值域的智者（或许是欧拉，但我不清楚是不是他限定的值域）说：我们为了把它弄成单值函数才这么做的，像你那么定义，反余弦函数和反余割函数都是两个值的函数了。而且，我这么定义还有一些漂亮的好处：

要是统一把它们的值域限定在[0,π]上，这些性质的表示就麻烦很多了。

接下来重点说一说反三角函数和三角函数的复合函数是什么样的。

arcsinx的定义域就是[-1,1]，因此第一个复合函数已经研究完了，它就是在这个区间上的y=x

而第二个复合函数，我们可以这么做：

因此我们得到一个最终的表示方法：

而这个东西的本质是什么呢？我们可以设想一下，如果没有限制主值，y=sin(arcsinx)就和sinx=siny完全相同，没有任何区别，那么图像上的每条线段都变成直线，无限伸展。正是因为限制反三角函数为单值函数，它们才变成了线段。

如果是不同名字的复合函数呢？

其他的推导过程类似，然后我们得到了这么一个表：

百度百科上的这个表有错误，在涉及到arcsecx和arccscx时。百度百科的反三角函数词条是照搬中文维基的，很可惜，中文维基也错了。

如果是反三角函数在外头，三角函数在里头呢？根据诱导公式，sin和cos可以互化，只有arcsin(cosx)和arccos(sinx)是可以化简的,其他的都不行。

接下来我们看反三角函数的导函数和原函数。

然后是不定积分，前四个比较容易，没什么可说的：

后边两个由于导数中存在符号函数，需要写成比较复杂的形式，但它恰好是反双曲余弦函数的对数形式。

本文至此结束。加法公式？那玩意有什么用，扔了。