【考研数学】函数图像(三角函数、幂函数、指数函数等)

诱导公式

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

公式二:设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系 sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα

公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系 sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα cot(－α)=－cotα

公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系 sin(π－α)=sinα cos(π－α)=－cosα tan(π－α)=－tanα cot(π－α)=－cotα

公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系 sin(2π－α)=－sinα cos(2π－α)=cosα tan(2π－α)=－tanα cot(2π－α)=－cotα

公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系 sin(π/2+α)=cosα sin(π/2－α)=cosα cos(π/2+α)=－sinα cos(π/2－α)=sinα tan(π/2+α)= -cotα=-1/tanα tan(π/2－α)=cotα=1/tanα cot(π/2+α)=－tanα cot(π/2－α)=tanα

倒数关系： t a n x ⋅ c o t x = 1 s i n x ⋅ c s c x = 1 c o s x ⋅ s e c x = 1 tanx · cotx=1\\sinx · cscx=1\\cosx · secx=1 tanx⋅cotx=1sinx⋅cscx=1cosx⋅secx=1

商的关系: t a n x = s i n x c o s x = s e c x c s c x tanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{secx}{cscx} tanx=cosxsinx​=cscxsecx​

平方关系： s i n 2 x + c o x 2 x = 1 1 + t a n 2 x = s e c 2 x 1 + c o t 2 x = c s c 2 x {sin}^{2}x+{cox}^{2}x=1\\1+{tan}^{2}x={sec}^{2}x\\1+cot^2x=csc^2x sin2x+cox2x=11+tan2x=sec2x1+cot2x=csc2x

两角和差公式： s i n ( x ± y ) = s i n x c o s y ± c o s x s i n y c o s ( x ± y ) = c o s x c o s y ± s i n x s i n y t a n x ( x + y ) = t a n x + t a n y 1 − t a n x ⋅ t a n y t a n x ( x − y ) = t a n x − t a n y 1 + t a n x ⋅ t a n y sin(x \plusmn y)=sinxcosy \plusmn cosxsiny\\ cos(x \plusmn y)=cosxcosy \plusmn sinxsiny \\tanx(x+y)=\frac{tanx+tany}{1-tanx ·tany}\\ tanx(x-y)=\frac{tanx-tany}{1+tanx ·tany} sin(x±y)=sinxcosy±cosxsinycos(x±y)=cosxcosy±sinxsinytanx(x+y)=1−tanx⋅tanytanx+tany​tanx(x−y)=1+tanx⋅tanytanx−tany​

倍角公式： s i n 2 x = 2 s i n x c o s x c o s 2 x = c o s 2 x − s i n 2 x = 2 c o s 2 x − 1 = 1 − 2 s i n 2 x t a n 2 x = 2 t a n x 1 − t a n 2 x sin2x=2sinxcosx\\ cos2x={cos}^2{x}-{sin}^2{x}=2cos^2x-1=1-2sin^2x\\tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x} sin2x=2sinxcosxcos2x=cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2xtan2x=1−tan2x2tanx​

半角公式： s i n 2 ( x 2 ) = 1 − c o s x 2 sin^2(\frac{x}{2})=\frac{1-cosx}{2} sin2(2x​)=21−cosx​

c o s 2 ( x 2 ) = 1 + c o s x 2 cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+cosx}{2} cos2(2x​)=21+cosx​

t a n 2 ( x 2 ) = 1 − c o s x 1 + c o s x tan^2(\frac{x}{2})=\frac{1-cosx}{1+cosx} tan2(2x​)=1+cosx1−cosx​

万能公式： s i n x = 2 t a n ( x 2 ) 1 + t a n 2 x 2 sinx=\frac{2tan(\frac{x}{2})}{1+tan^2\frac{x}{2}} sinx=1+tan22x​2tan(2x​)​

c o s x = 1 − t a n 2 x 2 1 + t a n 2 x 2 cosx=\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}} cosx=1+tan22x​1−tan22x​​

t a n x = 2 t a n ( x 2 ) 1 − t a n 2 x 2 tanx=\frac{2tan(\frac{x}{2})}{1-tan^2\frac{x}{2}} tanx=1−tan22x​2tan(2x​)​

对任意非直角三角形，总有： t a n A + t a n B + t a n C = t a n A t a n B t a n C tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

三倍角公式： s i n 3 x = 3 s i n x − 4 s i n 3 x c o s 3 x = 4 c o s 3 x − 3 c o s x t a n 3 x = 3 t a n x − t a n 3 x 1 − 3 t a n 2 x sin3x=3sinx-4sin^3x\\ cos3x=4cos^3x-3cosx\\ tan3x=\frac{3tanx-tan^3x}{1-3tan^2x} sin3x=3sinx−4sin3xcos3x=4cos3x−3cosxtan3x=1−3tan2x3tanx−tan3x​

和差化积：

积化和差： s i n x c o s y = 1 2 [ s i n ( x + y ) + s i n ( x − y ) ] c o s x s i n y = 1 2 [ s i n ( x + y ) − s i n ( x − y ) ] c o s x c o s y = 1 2 [ c o s ( x + y ) + c o s ( x − y ) ] s i n x s i n y = 1 2 [ c o s ( x − y ) + c o s ( x + y ) ] sinxcosy=\frac{1}{2}[sin(x+y)+sin(x-y)]\\ cosxsiny=\frac{1}{2}[sin(x+y)-sin(x-y)]\\ cosxcosy=\frac{1}{2}[cos(x+y)+cos(x-y)]\\ sinxsiny=\frac{1}{2}[cos(x-y)+cos(x +y)] sinxcosy=21​[sin(x+y)+sin(x−y)]cosxsiny=21​[sin(x+y)−sin(x−y)]cosxcosy=21​[cos(x+y)+cos(x−y)]sinxsiny=21​[cos(x−y)+cos(x+y)]

在三角函数的前面加上 arc ，表示它们的反函数 f − 1 ( x ) f^{-1}(x) f−1(x)。即由一个三角函数值得出当时的角度。

定义域与值域互换，关于y=x对称