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圆锥曲面
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曲面方程
三维空间中的关于\(z\)轴旋转对称的圆锥面由一根与\(z\)轴共面但不平行的直线绕\(z\)轴旋转360度得到. 旋转的过程中直线与\(z\)轴的夹角不变, 用\(\phi\)表示. 曲面上的点的坐标可用参数方程表示:(即极坐标下的曲面方程)\[ \begin{cases} x = \rho * sin\phi * cos \alpha \\ y = \rho * sin\phi * sin \alpha \\ z = \rho * cos\phi \end{cases} \] 里面的自由参数有两个:\(\rho, \alpha\). 若\(\phi\)也是一个自由参数, 则得到的是一个体, 而非面了. 换成直角坐标系:\[ z = \sqrt{x^2 + y^2}\cot \phi \]\(\phi\)不能为\(\frac {\pi}{2}\). 可视化极坐标和直角坐标提供了两种不同的思路. 直角坐标 phi = pi/6; a = -pi:.05*pi:pi; r = 0: .1: 2; [A, R] = meshgrid(a, r);#xoy平面上的极坐标 X = R.* cos(A); Y = R.* sin(A); Z = cot(phi) * sqrt(X.^2 + Y.^2); surf(X, Y, Z); 极坐标 figure; phi = pi/6; rho = 0 : .1 : 4; a = -pi:.05*pi:pi; [A, Rho] = meshgrid(A, rho); X = Rho.*sin(phi).*cos(A); Y = Rho.*sin(phi).*sin(A); Z = Rho.*cos(phi); surf(X, Y, Z);两段代码画的是同一个锥面: |
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