[复习]分析力学：哈密顿正则方程

我们高中都学过牛顿力学的三大定律，其中第二定律：

\vec{F} = m\vec{a}

大概是高中物理最重要的公式之一了，这也是描述物体运动最基本的公式了。写到这里不禁回想起高中时代被各种受力分析支配的恐惧，一个个小滑块上面画着一根根的箭头，看着就眼花缭乱。

18世纪，Lagrange同学横空出世，号称自己一张图也不画就能解决力学问题。这套牛b的方法发展到后来就是所谓的分析力学了。这里就把理论力学，分析力学这些课程的内容归纳一下，算是做个复习。

欢迎讨论交流，如有错误遗漏请指正。

简单来说，理论力学的概念主要就两个：Lagrange方程和Hamilton正则方程，其实本质上这两个方程跟牛顿力学方程是等价的，但在讲这两个东西之前首先得知道它们是怎么推导出来的。

第一个概念自然就是“约束”了，像绳子，杆子这种，让物体没法完全自由运动的东西就可以算是约束，数学上的理解就是认为物体的空间坐标之间所满足的某种关系： f(x,y,z,t) = 0

这种限制，根据牛顿第三定律，可以理解为一种力，比如绳子吊着的小球，除了受到重力外，还受到了来自绳子的拉力，这种来自约束的力我们用 \vec{R} 表示。对于一个受到约束的平衡物体，它所受到的合外力与所有约束反力的合力应该是相等的。

当然，这只是最简单的几何约束，也就是只限制位置，除此之外还有限制物体速度的运动约束这里就不多表了，这里只考虑几何的，不可解(就是约束方程是等号)的约束。

本来一个不受约束的三维空间中自由粒子的应该具有3个坐标自由度，也就是说它的三个空间坐标之间都没有任何关联。然而一旦施加约束就不一样了，比如说绕着硬杆转动的小球，它的自由度就只有2。一般来说，每一个几何约束就会减少系统一个自由度，这时候再用原来的不独立坐标就很麻烦了，因为此时描述整个系统不需要那么多的参量，比方说一个包含n个质点的系统，在有k个几何约束的情况下，实际的独立坐标数量应该是3n-k个。这个很好理解，还是那个绕着硬杆转动的小球，此时只要用两个球坐标角 (\theta,\phi) 就能描述它的运动了。称这样的独立坐标为广义坐标。

比如一个n粒子的体系，上面加了k个约束，那么该体系实际广义坐标的数量应该有s=3n-k个，而原先的3n个坐标 (x_i,y_i,z_i),i=1...n 都能够用这s个广义坐标 q_\alpha,\alpha=1...s 表示出来： x_i = x_i(q_1,...,q_s,t)

接下来介绍虚功原理，在了解虚功原理之前得知道虚位移的概念。

所谓虚位移，就是没有发生的位移，因为实际物体的运动是符合运动定律的，比如一个吊着的钟摆我把他抬起来，那么它应该会下坠做圆周运动，这是实位移，是由于时间的前进发生的，它受到运动定律限制，用 d\vec{r} 表示。但在脑海里我可以想象这个钟摆往天上跑去做圆周运动，实际这种情况并不会发生，但脑子里yy总是可以的，这也就是所谓的虚位移了，它只受约束的限制，用 \delta\vec{r} 表示。那么力在虚位移下做的功，就是虚功。

所谓理想约束，就是某n粒子体系中每个粒子的所有约束反力 \vec{R}_i 在任意虚位移 \delta\vec{r}_i 下做的虚功之和为零：

\sum_{i=1}^n \vec{R}_i\cdot \delta \vec{r}_i = 0

那这种约束就是理想约束。简单理解就是，这种约束力把粒子限制的死死的，比如一根刚体杆子一样，内部张力可以无限大，没法拉长也没法收缩。

假设有这么一个n粒子，k个理想约束的体系处在平衡状态，根据之前讨论的，它每一个粒子的外力与约束反力应该处在平衡： \vec{F}_i + \vec{R}_i = 0

乘上虚位移，再求和，根据理想约束的性质，就得到该力学体系的平衡条件：

\sum_{i=1}^n \vec{F}_i\cdot\delta\vec{r}_i = 0

这就是虚功原理，用广义坐标表示就是： \sum_{i=1}^n[F_i\cdot(\sum_{j=1}^s \frac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_j} \delta q_j)] = \sum_{j=1}^s Q_j \delta q_j = 0

这里 Q_j = \sum_{i=1}^n \vec{F}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j} ，称为广义力。由于原先3n个坐标之间并非相互独立，也就是说 \vec{F}_i 并不彻底为零，但s个广义坐标之间是相互独立的，所以可知 Q_j = 0

接下来就是在牛顿第二定律的基础上应用虚功原理。

对于n粒子系统，牛顿动力学方程为： \vec{F}_i + \vec{R}_i = m_i\ddot{\vec{r}}_i

假定有k个理想约束，套上虚功原理： \sum_{i=0}^n (\vec{F}_i - m_i\ddot{\vec{r}}_i) \cdot \delta\vec{r}_i = 0

把上面的方程用s=3n-k个广义坐标表示：

\sum_{i=0}^n \sum_{j=1}^s \vec{F}_i\ddot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j - \sum_{i=0}^n \sum_{j=1}^sm_i\ddot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j = 0 ... (0)

关于上式左端第二项：

\sum_{i=0}^n m_i\ddot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_j} = \frac{d}{dt}\sum_{i=0}^n m_i\dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_j} - \sum_{i=0}^n m_i\dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{d}{dt}\frac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_j} ... (1)

这样就去掉了二阶导数，对于一阶导 \dot{\vec{r}}_i ：

\dot{\vec{r}}_i = \frac{d\vec{r}_i}{dt} = \sum_{j=1}^s \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial t}

我们知道 \vec{r}_i 是广义坐标 q_1...q_s 和时间t的函数，而其一阶导 \dot{\vec{r}}_i 应该是广义坐标，广义坐标一阶导 \dot{q}_1...\dot{q}_s 和时间t的函数，而 \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j} 和 \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial t} 这两个函数应该是不显含 \dot{q}_j 的，也就是说， \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j} 就是 \dot{q}_j 的系数，即：\frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial \dot{q_j}}=\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j} ... (2)

因此(1)式可以写成下面的形式：

\Rightarrow\frac{d}{dt}\sum_{i=0}^n m_i\dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial \dot{q}_j} - \sum_{i=0}^n m_i\dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial q_j}

刚好系统的总动能 T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i \dot{\vec{r}}_i^2

代回(0)式，再根据广义坐标的独立性就得到了：

\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j}) - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j

这就是基本形式的Lagrange方程了。更进一步的，考虑一个保守体系，即外力 \vec{F}_i = -\nabla_iV

则广义力 Q_j = \sum_{i=1}^n \vec{F}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j} = -\sum_{i=1}^n \sum_{\lambda = x,y,z} \frac{\partial V}{\partial \lambda_i} \frac{\partial \lambda_i}{\partial q_j} = -\frac{\partial V}{\partial q_j}

定义Lagrange函数 L = T - V ，那么Lagrange方程在保守系下的形式为：

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0

前面铺垫了这么多，现在终于进入重头戏了。

量子力学里头我们总是会听到所谓的，“体系的Hamiltonian”，那么这到底是什么玩意呢？在理论力学里，其实Hamiltonian就是Lagrange函数做一个Legendre变换后得到的，它与Lagrange函数本质上是等价的，但导出的运动方程在数学形式上更简单。

所谓Legendre变换，就是一种参数变换，比如说一个函数 f(x,y) ，把它变成 f(x,v) ，这里有： df = udx + vdy,u=\frac{\partial f}{\partial x},v=\frac{\partial f}{\partial y}

记这个变换后的函数为 \bar{f}(x,v) = f(x,y(x,v))

变换前，有 u=\frac{\partial f}{\partial x},v=\frac{\partial f}{\partial y}

但变换之后， u,y 却无法这样导出：

\frac{\partial \bar{f}}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} = u + v\frac{\partial y}{\partial x}\\ \frac{\partial \bar{f}}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} = v\frac{\partial y}{\partial v}

这时候应该换一个新的函数： g = -\bar{f} + yv

这个新函数对 x,v 求偏导数就是：

\frac{\partial g}{\partial x} = -u - v\frac{\partial y}{\partial x} + v\frac{\partial y}{\partial x} = -u \\ \frac{\partial g}{\partial v} = -v\frac{\partial y}{\partial v} + y + v\frac{\partial y}{\partial v} = y

构造新函数的具体做法就是，不要的变量乘以原函数对该变量的偏微商，再减去原函数。比如这里，原变量是 x,y ，替换成了 x,v ，去掉了 y ，而原函数对 y 的偏微商是 v ，因此新函数的形式就是 g = -\bar{f} + yv

类似地，我们将这套方法套到Lagrange函数上。原先的Lagrange函数是广义坐标及其一阶时间导数和时间的函数 L(q_1...q_s,\dot{q}_1...\dot{q}_s,t)

根据保守系的Lagrange方程，有这么个关系： \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\partial L}{\partial q_j}

定义广义动量： p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} 这里我们想用 p_j 来代替 \dot{q}_j ，类似的我们用Legendre变换构造出新的，以 p_j,q_j,t 为变量的函数：

H = \sum_{j=1}^s \dot{q}_j p_j - L

这就是Hamiltonian了，对它求微分： dH = \sum_{j=1}^s (\dot{q}_j dp_j +p_jd\dot{q}_j)- dL

代入 dL = \sum_{j=1}^s (\dot{p}_j dq_j + p_jd\dot{q}_j) + \frac{\partial L}{\partial t}dt

得到 dH = \sum_{j=1}^s (\dot{q}_j dp_j -\dot{p}_jdq_j)- \frac{\partial L}{\partial t}dt

由于H是 p_j,q_j,t 的函数，观察一下就得到了下面这一组方程：

\dot{q}_j = \frac{\partial H}{\partial p_j} \\ \dot{p}_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j} \\ \frac{\partial H}{\partial t } = -\frac{\partial L}{\partial t}

前两式就是所谓的Hamilton正则方程了。

这里我们尝试着用一下Hamilton正则方程来解决实际的问题。

就考虑一个简单的情形，一个质量为 m 的天体，处在一个质量为 M 的天体产生的引力场中，我们试着求解一下 m 的轨迹。

这里我们采用求坐标 r,\theta,\phi 作为广义坐标，则天体的动能 T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2+r^2sin^2\theta\dot{\phi}^2)

势能 V = -\frac{GMm}{r}

这是一个保守系，则Lagrange函数为： L=T-V = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2+r^2sin^2\theta\dot{\phi}^2) + \frac{GMm}{r}

三个广义动量 p_r,p_\theta,p_\phi 为：

p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} \\ p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta} \\ p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = mr^2sin^2\theta\dot{\phi}

有了广义动量就可得到Hamiltonian：

H = -L + p_r \dot{r} + p_\theta \dot{\theta} + p_\phi \dot{\phi} \\ =\frac{1}{2m}(p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\phi^2}{r^2sin^2\theta}) - \frac{GMm}{r}

得到正则方程：

\dot{p}_r = -\frac{\partial H}{\partial r} = \frac{p_\theta^2}{mr^3}+\frac{p_\phi^2}{mr^3sin^2\theta}-\frac{GMm}{r^2}, \dot{r} =\frac{\partial H}{\partial p_r} = \frac{p_r}{m} \\ \dot{p}_\theta = -\frac{\partial H}{\partial \theta} = \frac{p_\phi^2cos\theta}{mr^2sin^3\theta},\dot{\theta} =\frac{\partial H}{\partial p_\theta} = \frac{p_\theta}{mr^2} \\ \dot{p}_\phi = -\frac{\partial H}{\partial \phi} = 0,\dot{\phi} = \frac{\partial H}{\partial p_\phi} = \frac{p_\phi}{mr^2sin^2\theta}

H 中不显含 \phi ，不妨设 p_\phi = 0 则 \phi = Const ，即天体的轨道在一个平面上。

（来自评论补充： H 中不显含 \phi 其实意味着，这个天体的运动是被限制在某个平面上，也就是说天体的运动是二维的，而设置 p_\phi = 0 只是选取了一个简单方便的坐标系而已）

由 p_r-r 的方程可得： m\ddot{r} - mr\dot{\theta}^2+\frac{GMm}{r^2} = 0

由 p_\theta-\theta 的方程可得： \frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) = 0

这和我们之前推导过的万有引力定律下的动力学方程一致。

，张建树 孙秀泉 张正军，科学出版社

，周衍柏，高等教育出版社

引力波的TTgauge与探测器参考系