三次样条插值详解(附代码实现)

当已知某些点而不知道具体方程时候，最经常遇到的场景就是做实验，采集到数据的时候，我们通常有两种做法：拟合或者插值。拟合不要求方程通过所有的已知点，讲究神似，就是整体趋势一致。插值则是形似，每个已知点都必会穿过，但是高阶会出现龙格库塔现象，所以一般采用分段插值。今天我们就来说说这个分段三次样条插值。

首先我们先抛开众多的回归算法不谈， 我们对于给出如下的离散的数据点，现在想根据如下的数据点来推测 x=6 时的值，我们应该采用什么方法呢？

用于拟合样条函数的数据

我们知道在平面上两个点确定一条直线，三个点确定一条抛物线（假设曲线的类型是抛物线），那么现在有四个点，我们很自然的会想到，既然两个点确定一条直线，那么最简单的方法就是，两个点之间连一条线，两个点之间连一条线，最后得到的一种折线图如下：这样我们只要确定 x=6 时的直线，把自变量的值带进去，就显然会得到预测的函数值。但是，这种方法显然具有很明显的缺陷：曲线不够光滑，连接点处的斜率变化过大。可能会导致函数的一阶导数不连续。那么我们应该如何解决这个问题呢？

我们会想到既然直线不行，那么我们就用曲线来近似的代替和描述。最简单的曲线是二次函数，如果我们用二次函数： a x 2 + b x + c ax^2 + bx + c ax2+bx+c 来描述曲线，最后的结果可能会好一点，下图中一共有4个点，可以分成3个区间。每一个区间都需要一个二次函数来描述，一共需要9个未知数。下面的任务就是找出9个方程。

如下所示：一共有 x 0 ， x 1 ， x 2 ， x 3 x_0，x_1，x_2，x_3 x0​，x1​，x2​，x3​四个点，三个区间，每个区间上都有一个方程。

曲线方程在节点处的值必须相等，即函数在x1,x2两个点处的值必须符合两个方程，这里一共是4个方程：

a 1 x 1 2 + b 1 x 1 + c 1 = f ( x 1 ) a_1x_1^2 + b_1x_1 + c_1 = f(x_1) a1​x12​+b1​x1​+c1​=f(x1​)

a 2 x 1 2 + b 2 x 1 + c 2 = f ( x 1 ) a_2x_1^2 + b_2x_1 + c_2 = f(x_1) a2​x12​+b2​x1​+c2​=f(x1​)

a 2 x 2 2 + b 2 x 2 + c 2 = f ( x 2 ) a_2x_2^2 + b_2x_2 + c_2 = f(x_2) a2​x22​+b2​x2​+c2​=f(x2​)

a 3 x 2 2 + b 3 x 2 + c 3 = f ( x 2 ) a_3x_2^2 + b_3x_2 + c3_ =f (x_2) a3​x22​+b3​x2​+c3=​f(x2​)

第一个端点和最后一个端点必须过第一个和最后一个方程：这里一共是2个方程

节点处的一阶导数的值必须相等。这里为两个方程。

2 a 1 x 1 + b 1 = 2 a 2 x 1 + b 2 2a_1x_1 + b_1 = 2a_2x_1 + b_2 2a1​x1​+b1​=2a2​x1​+b2​

2 a 2 x 2 + b 2 = 2 a 3 x 2 + b 3 2a_2x_2 + b_2 = 2a_3x_2 + b_3 2a2​x2​+b2​=2a3​x2​+b3​

在这里假设第一个方程的二阶导数为0：这里为一个方程：

a 1 = 0 a_1 = 0 a1​=0

上面是对应的9个方程，现在只要把九个方程联立求解，最后就可以实现预测 x=6 处节点的值。

下面是写成矩阵的形式,由于a1=0，所以未知数的个数少了一个

下面是二次样条的python实现，最后将结果绘制在图上。