抽象代数（三）伽罗瓦群、伽罗瓦对应及多项式方程根式求解问题

在上一期中，我们介绍了环、域的相关概念以及各种形式的域扩张。本期中，将会介绍伽罗瓦天才的工作，由于其具有相当的复杂性，过于复杂的部分均只做科普性质的介绍。

先来介绍如何从域得到群。设σ为域F到它自身的双射，如果对任意x,y∈F都满足：

（1）σ(x+y)=σ(x)+σ(y)；

（2）σ(xy)=σ(x)σ(y)，

则称σ为F上的自同构（automorphism）。将F的全部自同构构成的集合记作Aut(F)，对于σ₁,σ₂∈Aut(F)，定义σ₂σ₁(x)=σ₂(σ₁(x))，∀x∈F，则不难验证Aut(F)在变换的乘法下构成一个群，称为域F的自同构群（automorphism group）。

对于数域来说，由于对任意数域F，Q⊂F，因此对任意x∈Q，σ∈Aut(F)，均有σ(x)=x，特别地Aut(Q)中只有恒等映射e这一个元素。这是一条重要的性质，请理解清楚并牢牢记住。

作为例子，我们来求Aut(Q(√2))。利用自同构的性质有：

（1）σ(a+b√2)=σ(a)+σ(b√2)=a+bσ(√2)，这说明σ的作用仅由σ(√2)确定；

（2）[σ(√2)]²=σ(√2·√2)=σ(2)=2，

即σ(√2)=±√2，因此Aut(Q(√2))={e,τ},其中e是恒等变换，它使得e(√2)=√2，而τ使得τ(√2)=-√2。这个例子给出了一种重要的求数域的自同构群的方法，读者应该掌握。

上面这个例子中，Aut(Q(√2))显然是Q(√2)作为Q的域扩张时的自同构群，一般地，设K/F为一扩张，若对任意x∈F均有σ(x)=x，就可直接称σ∈Aut(K)是K在F上的一个自同构。

思考题：求C在Q上的自同构群。

下面就开始介绍各种难理解的概念。设K/F为一个域扩张，K在F上的自同构群称为K/F的伽罗瓦群（Galois group），记作Gal(E/F)。在之前的例子中，Q(√2)/Q的伽罗瓦群Gal(Q(√2)/Q)就是{e,τ}。

接下来给出更多伽罗瓦群的例子。对于域F上的多项式f(x)，也可以给出其伽罗瓦群的定义，即设E为f(x)的分裂域，则f(x)的伽罗瓦群就是Gal(E/F)。

来看第一个例子。设f(x)=x²+3∈Q[x]，其分裂域为Q(i√3)，用之前介绍过的方法可以得出其伽罗瓦群Gal(Q(i√3)/Q)={e,τ}，e和τ分别为恒等变换和共轭变换。伽罗瓦群Gal(Q(i√3)/Q)同构于对称群S₂。

再来看第二个例子。设f(x)=x³-2∈Q[x]，其分裂域为Q(∛2,ω)，其中ω=(-1+i√3)/2，这是上期中已经得到过的结果。设σ∈Gal(Q(∛2,ω)/Q)，f(x)有三个根α₁=∛2,α₂=ω∛2,α₃=ω²∛2，用之前介绍过的方法可以得出[σ(ω)]³=1,[σ(∛2)]³=2，因此σ共有六种选择（即这三个根的全排列）。伽罗瓦群Gal(Q(∛2,ω)/Q)同构于对称群S₃。

来看第三个例子。设f(x)=(x²-2)³(x²-3)∈Q[x]，其分裂域为Q(√2,√3)。设σ∈Gal(Q(√2,√3)/Q)，用之前介绍过的方法可以得出σ(√2)=±√2,σ(√3)=±√3，因此σ共有四种选择，伽罗瓦群Gal(Q(√2,√3)/Q)同构于置换群{e,(12),(34),(12)(34)},它是对称群S₄的子群。

最后再看一个例子（*这涉及到分圆多项式，若不了解可查阅教材）。设f(x)=x⁴+x³+x²+x+1∈Q[x]，其分裂域为Q(ζ)，ζ为1的5次本原根。ζ,ζ²,ζ³,ζ⁴是f(x)的四个根。设σ∈Gal(Q(ζ)/Q)，用之前介绍过的方法可以得出[σ(ζ)]⁵=ζ⁵=1，且σ(ζ)≠1，因此σ有四种选择，分别使得σ(ζ)=ζ,ζ²,ζ³,ζ⁴。伽罗瓦群Gal(Q(ζ)/Q)同构于置换群{e,(1243),(1342),(14)(23)},它也是对称群S₄的子群。

我们用了四个例子，只是为了说明一个事实，即多项式伽罗瓦群中的每个映射都对应着根的一组置换。定理表述为：域F上的n次多项式f(x)的伽罗瓦群同构于对称群Sₙ的一个子群。这是伽罗瓦得到的一个重要的结论。从此，我们就用置换群表示多项式的伽罗瓦群，用置换表示多项式的伽罗瓦群中的自同构映射。

事实上，数域F上的低次无重根多项式的伽罗瓦群的种类是有限的，也有一般的计算方法，不过叙述较为冗长，本文中不会介绍，如果读者有兴趣请查阅教材。

为了引入伽罗瓦扩张的概念，还要再给出不动元和不动域的概念。设G为F的任一自同构群，对任意σ∈G，若F中的元素α满足σ(α)=α，则称α为G的一个不动元（invariant element）。K中G的不动元全体构成一个域，称为G的不动域（invariant field），记作Inv(G)。显然任何域扩张K/F的伽罗瓦群G=Gal(K/F)的不动域Inv(G)包含F但可以大于F。

来看一个例子。设F=Q，K=Q(∛2)，那么Gal(K/F)={e}，因此Inv(Gal(K/F))=E。在这个例子中，扩张K/F的伽罗瓦群Gal(K/F)的不动域比F大。特别地，如果扩张K/F的伽罗瓦群Gal(K/F)的不动域等于F，则称K/F为一个伽罗瓦扩张（Galois extension）。

不加证明地给出定理：若K/F为正规扩张，则Gal(K/F)中的元σ将F上多项式f(x)的根α∈K变为根σ(α)∈K。这定理的一个重要的特例就是F上多项式的分裂域是F的正规扩张，其例子之前已经举出了很多。事实上，伽罗瓦扩张都是正规扩张，因此它将会具有正规扩张的所有性质。

可以证明，伽罗瓦扩张有如下性质：

（1）设K/F为有限伽罗瓦扩张，则Gal(K/F)的阶等于[K:F]；

（2）若域K有一个有限自同构群G以F为不动域，则K/F为有限伽罗瓦扩张且G=Gal(K/F)；

（3）若有限扩张K/F有一自同构群G使得|G|=[K:F]，则K/F为伽罗瓦扩张且G=Gal(K/F)。

从这几条性质中似乎可以察觉到群与域之间的某种关联，下面就来看伽罗瓦的天才之处。考虑一有限伽罗瓦扩张E/F，记G=Gal(K/F)，伽罗瓦得到的结论可总结为如下定理：

在G的子群集和E/F的中间域集之间存在一个双射，使得每个子群H对应于它的不动域：H↦Inv(H)；让每个中间域K对应于E对K的伽罗瓦群：K↦Gal(E/K)。这个双射称为伽罗瓦对应（Galois correspondence）。

不难看出伽罗瓦对应具有如下的性质：

（1）Gal(E/Inv(H))=H,Inv(Gal(E/K))=K；

（2）若H₁⊂H₂，则Inv(H₂)⊂Inv(H₁)，即所谓“群小域大”“域小群大”；

（3）[E:Inv(H)]=|H|,[Inv(H):F]=[G:H]。

思考题：请用伽罗瓦扩张的性质证明上面的性质（3）。

伽罗瓦对应被誉为伽罗瓦理论中的“神来之笔”，可以简单地总结为：子域是由子群的不动域得到的，子群是由子域上的伽罗瓦群得到的。通过伽罗瓦对应我们可以把复杂的域列问题转换到伽罗瓦群的子群列上去研究，这是应用伽罗瓦理论时最为关键的一点。

上面引入了很多抽象的概念和定理，接下来就用几个例子来帮助读者理解。

在之前的例子中已经给出了f(x)=x⁴+x³+x²+x+1∈Q[x]的伽罗瓦群Gal(Q(ζ)/Q)={e,(1243),(1342),(14)(23)}。容易验证H={e,(14)(23)}是Gal(Q(ζ)/Q)的一个真子群。我们来求H的不动域。由于Q(ζ)的一般元a可表示为a=a₀+a₁ζ+a₂ζ²+a₃ζ³+a₄ζ⁴,由不动域的定义有(14)(23)a=a，这说明a₁=a₄,a₂=a₃，因此一般元a=a₀+a₁(ζ+ζ⁴)+a₂(ζ²+ζ³)，结合ζ²+ζ³=-1-(ζ+ζ⁴)终于得出Inv(H)=Q(ζ+ζ⁴)。最终Q(ζ)⊃Q(ζ+ζ⁴)⊃Q通过伽罗瓦对应与{e}⊂H⊂Gal(Q(ζ)/Q)建立起双射。

一般地，伽罗瓦对应都可以写成这个形式，即E⊃K=Inv(H)⊃F=Inv(Gal(E/F))对应于{e}=Gal(E/E)⊂Gal(E/K)=H⊂Gal(E/F)。由于E/F一定是正规扩张，E也一定是K=Inv(H)的正规扩张，但K一般不是F的正规扩张，这我们已经在上期中举过例子。如果要求K是F的正规扩张，则要求H是G(E/F)的正规子群，这时就有Gal(K/F)同构于G(E/F)/H，这非常重要。

来看上期和本期都讨论过的例子。设f(x)=x³-2∈Q[x]，它有三个根α₁=∛2,α₂=ω∛2,α₃=ω²∛2，其伽罗瓦群Gal(Q(∛2,ω)/Q)=S₃。S₃有四个非平凡的真子群H₁={e,(123),(132)},H₂={e,(23)},H₃={e,(12)},H₄={e,(13)}。经过耐心的推导最终可以得到Inv(H₁)=Q(ω),Inv(H₂)=Q(α₁),Inv(H₃)=Q(α₂),Inv(H₄)=Q(α₃)。这样，用伽罗瓦对应的方法，将伽罗瓦群S₃的四个子群与Q(ω)、Q(∛2)、Q(ω∛2)、Q(ω²∛2)四个中间域建立起了联系。例如，由于H₁=A₃是S₃的正规子群，因此Q(ω)是正规扩张；再比如，由于(12)H₂≠H₂(12)，这说明H₂不是S₃的正规子群，因此Q(∛2)不是正规扩张。

在最后介绍多项式方程根式求解的问题。这部分内容非常难理解，如果感到有困难可以直接看最后的结论。在上一期中我们给出了单根式扩张、根式扩张、根式扩张链、根式可解的定义。现在来回顾一下这些概念：

（1）设K=F(α)是F上的单代数扩张，且αⁿ=a∈F，n=[K:F]，则称K/F为一个单根式扩张。

（2）如果一个有限扩张K/F可以插进一串中间域F=F₀⊂F₁⊂...⊂Fᵣ=K，且每一个Fᵢ₊₁/Fᵢ,i=0,1,...,r-1都是单根式扩张，则称K/F为根式扩张，F=F₀⊂F₁⊂...⊂Fᵣ=K称为K/F的一个根式扩张链，或称根式塔。

（3）若域F上一个多项式f(x)的分裂域E包含在F的一个根式扩张K中，则称f(x)的根在F上可用根式解，或称f(x)是根式可解的，又或称方程f(x)=0是根式可解的。

还要再给出几个概念。设在基域F上给定三个代数扩张E/F,K/F和L/F以及两个映射σ:E→L,α↦σ(α),α∈E和τ:K→L,α↦τ(α),α∈K。那么L中同时包含σ(E)和τ(K)的所有子域的交称为E和K的复合域（composite field）。当E/F为有限正规扩张时，复合域与映射σ与τ无关，可直接记为E·K或EK。用定理表述为：若E/F是F上多项式f(x)的分裂域，K/F为任意扩张，则E/F和K/F的复合域与f(x)在K上的分裂域同构。

如果一个伽罗瓦扩张E/K的伽罗瓦群是循环群，则称E/K为一个循环扩张（cyclic extension）。如果伽罗瓦扩张E/K的伽罗瓦群是交换群，则称E/K为一个交换扩张（Abel extension）。关于Abel扩张，有定理：设F是特征*为0的域，K为xⁿ-1(n>0)在F上的分裂域F(ζ)，其中ζ为本原n次单位根，则K/F是一个Abel扩张，且扩张的次数[K:F]=φ(n)H₁▷H₂▷...▷Hₜ={e}，其中商群Hᵢ₋₁/Hᵢ，i=1,2,...,t都是素数阶的循环群，则称G为可解群，这样的子群列称为合成群列。可解群具有以下性质：

（1）可解群的子群是可解群；

（2）可解群的商群是可解群；

（3）有限的交换群是可解群；

（4）n=2,3,4时，对称群Sₙ是可解群，而n>4时，Sₙ不是可解群。

现在终于可以着手探讨数域F上多项式方程根式求解的问题。伽罗瓦得到的第一个结论是：设F是特征为0的域，若F上的多项式f(x)在F上的分裂域E上的伽罗瓦群Gal(E/F)是可解的，则f(x)的根可用根式解。

上面的命题等价于若特征为0的域F上有限伽罗瓦扩张的伽罗瓦群G是可解的，则E可以包含在一个根式扩张K/F中。证明这个命题要使用归纳法，即假设[E:F]1）时命题成立，往证[E:F]=n时命题也成立。设p₁,p₂,...,pₜ为n的全部相异素因子，令m=p₁p₂...pₜ，设ζ为m次本原单位根，则F(ζ)是一个Abel扩张，且[F(ζ):F]