【干货】三大补形巧解外接球问题！建议收藏！

图2

图2：将三棱锥H-ADC补全成长方体ABCD-EFGH，长方体体对角线EC为外接球直径；

图3

图3：将三棱锥E-ADC补全成长方体ABCD-EFGH，长方体体对角线EC为外接球直径；

图4

图4：将三棱锥G-ADC补全成长方体ABCD-EFGH，长方体体对角线EC为外接球直径；

这三个三棱锥的共同特征为：三条棱两两垂直！

图2中互相垂直的棱为：AD，HD，CD；

图3中互相垂直的棱为：EA，AD，DC；

图4中互相垂直的棱为：AD，DC，CG。

所以，我们就可以利用这三条互相垂直的棱，还原出对应的长方体，进而求出外接球的直径。

02

对棱相等模型

图5

已知四面体BDEG，其中BD=EG=a，BE=DG=b，BG=ED=c。

我们将四面体BDEG补全成长方体ABCD-EFGH，则长方体体对角线EC即为四面体BDEG外接球直径。

这个模型的特征：对棱长度相等

03

线面垂直模型（补三棱柱）

图6

已知棱锥D-ABC，其中DA⊥面ABC，△ABC为等边三角形。

此时我们可以将三棱锥补全成一个直棱柱ABC-DEF，则直棱柱的外接球即为棱锥的外接球，如图6所示。

图7

过AD作外接球的最大截面，如图7所示，DJ即为外接球的直径，要求出DJ的长度，需要用到直角三角形DAJ，DA已知，故只需求出AJ的长度即可。

图8

AJ的长度，我们用面ABC与外接球的截面（如图8）求出AJ的长度即可。

由此说明：底面ABC一般为特殊图形，等边三角形，直角三角形或者其他特殊多边形，且侧棱垂直于底面的棱锥可补成棱柱进行计算。

-End-

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