线性空间

线性空间是 维欧氏空间（）等的推广，相关概念的关系可参照 欧氏空间与线性空间的关系。

前置知识：阿贝尔群、域。

通俗地讲，一个集合关于某运算封闭，满足结合律、单位元与逆元则构成群。如果还满足交换律，则构成阿贝尔群。

如果一个集合关于四则运算封闭，则构成域。相关定义详见 群论简介。

线性空间（向量空间）是线性代数的基本概念与重要研究对象。线性空间是由向量集合 、域 、加法运算 和标量乘法（数乘）组成的模类代数结构。

具体来说，设 是一个阿贝尔群， 是一个域。

定义 中的数与 中元素的一种代数运算，称为 数乘：，记为 或 ，其中 在域 中， 在阿贝尔群 中。要求该数乘运算是封闭的，运算结果始终有意义，也在群 中。

且满足以下条件：

则称代数系统 是 关于 构成 上的一个 线性空间， 为线性空间的 基域， 中元素称为 向量， 中元素称为 标量。当域 为实数域时，称为实线性空间。当域 为复数域时，称为复线性空间。

不管是一列数还是箭头，或是别的什么东西，只要满足上述公理，都可以认为是向量，也就都可以利用线性代数的理论来研究。

称加法群中的零元为零向量，记作 或 。

原阿贝尔群中向量的加减法，与线性空间新定义的数乘，统称为 线性运算。

为行文方便，下文中：

请注意区分。

不是很严谨地说，标量乘法对应着一种「缩放」，基域 中的元素就代表着缩放的「比例」，向量加法对应「叠加」。同时， 中的元素还代表着向量的「坐标」的取值范围。

条件 1-4 描述的是「缩放」与「叠加」的关联。可以结合二维平面上的箭头来理解。

以下性质可在群论等中找到。

对线性空间 ,

加法的消去律：, 有

实际上，加法的消去律是阿贝尔群的性质。

对线性空间 ：

规定零向量与任意向量线性相关。

线性表示或线性相关的式子，可以写成矩阵乘法的形式：

根据习惯，把向量 按顺序并排写在左边；把标量 按顺序竖着写在右边，构成一个「列向量」。

注意：这里标量构成的「列向量」只是方便的形式记号，不在空间 中，与左边的向量有着本质的区别。左边的向量如果恰好是列向量，并排拼起来就可以形式上构成一个「矩阵」，上述乘积恰好是矩阵中常见的「矩阵左乘列向量」的形式。

下文指出，这里的线性表示也等价于，向量 落在矩阵 的像空间里。

根据下文中的定义，零向量一定会落在像空间里。如果用线性变换的观点看，线性相关等价于变换后多个向量变换到零向量，而线性无关等价于只有零向量本身变换到零向量。

对线性空间 ,

线性相关可以理解为「多余」，说明向量组内部有的向量可以被其他向量表出，可以删去。删完了之后，将剩下极大线性无关组。

对线性空间 ：

对于向量组 , 令 , 若有：

则称向量组 为向量组 中的一个 极大线性无关组。类似地，可定义线性空间 的极大线性无关组。

规定向量组 的极大线性无关组为空集，于是全 矩阵对应的向量组没有极大线性无关组。

从向量组删向量的删法不唯一，因此极大线性无关组也不唯一。习惯上从左到右按顺序删。

很巧的是，按顺序删，留下的向量，恰好就是「按行看」观点里面，高斯消元法剩下的行最简形矩阵中，元素 所在的列。

称向量组 的极大线性无关组的大小为向量组的 秩，记作 , 规定 。

于是，向量组的秩的定义与矩阵的秩的定义完全一致。

若向量组 能线性表出向量组 中的所有向量，称向量组 能被向量组 线性表出。

若向量组 能被向量组 线性表出，且向量组 能被向量组 线性表出，则称两向量组 等价，记作 。

向量组的 等价 就是向量组张成的空间相同。张成空间相同的向量组相互等价，张成空间不同的向量组不等价。

向量组等价比矩阵等价条件更强，不仅要求秩相同，还要求空间完全一样。因此，把两个矩阵 横向 拼在一起，秩不能发生变化。

矩阵等价仅要求秩相同，因此矩阵等价表示前一个矩阵或空间，可以通过可逆变换，到达后一个矩阵或空间。

对线性空间 ,

设向量组 能被线性表出向量组 线性表出。

等价的线性无关向量组的大小相等。

向量组的任意极大线性无关组的大小均相等。

向量组线性无关当且仅当其秩等于其大小。

若向量组 能被线性表出向量组 线性表出，则 。

等价的向量组的秩相等。

对于线性空间 ， 也构成一个线性空间，称为由向量组 张成 的线性空间（或 线性包），记作 。

这里的 个向量 不一定线性无关。

对线性空间 , 若代数系统 满足：

则称 为 的线性子空间，简称子空间，记作 。

任何空间 都有两个 平凡子空间：它本身 与零子空间。零子空间只含零向量，不含有线性无关的向量。

若第 2 条中的 换为 , 则称 为 的线性真子空间，记作 。

不难证明：线性空间 的非空子集 是其线性子空间当且仅当线性运算在 上封闭，即：

对线性空间 与 ：

不难验证：加法和数乘在 上封闭，故可称 为线性空间 和 的 交。

类似地，可定义多个线性空间的交 。

若线性空间 满足 , 则称 为线性空间 和 的 和，记为 。

可以验证： 是包含 的最小子空间。

类似地，可定义多个线性空间的和 。

设 , 若线性空间 中的任意元素 , 均只能找到唯一一组向量 满足 , 则称 为线性空间 和 的 直和(direct sum)，记为 。

类似地，可定义多个线性空间的直和 。

与 的 直积 定义为二者的笛卡儿积关于如下的加法和数乘构成 上的线性空间：

类似地，可定义多个线性空间的直积 。

对于线性空间 ，设线性空间：

则

令 是关于 的线性空间，则下列诸款等价：

：由定义立得。

：

令 , 其中 , 若 ,, 则 。

而 , 与条件矛盾。

：

在 和 中取一非零向量 , 则 , 这与条件矛盾。

：

若 不是直和，则存在 使得 , 其中 且 互不相同。

进而 , 与条件矛盾。

设 均为域 上的线性空间，若存在双射 且保持加法与数乘，即 , 满足：

则称 是 到 的 同构映射，此时称 与 同构，记为 。

若 是单射，则可定义 单同态；若 是满射，则可定义 满同态。

（1 的推论）域 上的 维线性空间与线性空间 同构。

本性质说明我们基本上可以将坐标和向量等同看待。

以我们最熟悉的三维欧氏空间为例，其部分相关概念在线性空间中的对应关系如下表：

从本节开始主要讲述对于线性方程组「按列看」的观点。

矩阵 本身也是由列向量构成的。把 本身看成了列向量组，而 是未知数系数，思考 当中的这组列向量能不能配上未知数，凑出列向量 。此时列向量 是完全未知的。

此时研究的等式 整理为：

这时，矩阵乘法中，位于左边的矩阵 可以看作向量组，即一组列向量。这组列向量作为一组基，张成一个空间，探讨列向量 是否落在这个空间里。

秩是极大线性无关组中向量的个数，代表了「约束」。那么其余的向量将赋予解的自由度，即允许在其他方向赋予冗余的向量。

如果记 是矩阵 的列数，即含有的列向量个数，记 为矩阵 A 的秩，则有自由度 ：

方程组的全体解也构成向量组，自由度 就是 解向量组的秩，即下文核空间的维数。

两个方程组的公共解定义为两组解的交集。

方程组的 同解 就是方程组的解的集合相等。解的集合相等的方程组同解，解的集合不相等的方程组不同解。

方程组同解也比矩阵等价条件强，不仅要求秩相等，还要求把两个矩阵 纵向 拼在一起之后，秩仍然不改变。

这里与向量组等价对比，向量组等价要求矩阵横向拼接，秩不改变。因此，有如下关系：

矩阵等价，不一定有对应的向量组等价或者方程组同解，但是若有向量组等价或者方程组同解，必然有对应的矩阵等价（秩相同）。

如果矩阵对应的向量组等价，那么将矩阵转置后，对应的方程组同解，反之亦然。

这部分的核空间与像空间是站在线性空间的角度上叙述的。

对于矩阵 ，令 为方程 的全体解 构成的集合，则 是一个线性空间， 的标量域与 的元素所在的域相同。

称此时的 为矩阵 的 核空间，记作 。

矩阵 的核空间 就是方程 的 解空间。根据后文基的定义，该方程的 基础解系 就是核空间的基。

如果矩阵 是可逆矩阵，则 的核空间 只含零向量。

对于矩阵 ，它的 个列为向量 ，称 个列向量 张成的空间为 的 像空间，或者记作 列空间，记作：

根据后文维数的定义，像空间的维数等于矩阵 的秩。

由定义，对于像空间 中的每一个元素 ，均有相应的表示：

因此像空间 就是对于任意向量 ， 的 值域。

同理可以定义 的 行空间，即 的转置的值域 。

由于矩阵的行秩等于列秩，行空间的维数也为矩阵的秩，因此转置改变像空间，而不改变像空间的维数。

在这里可以与前文建立对应关系：

向量组等价，等价于对应矩阵的像空间 相同。

方程组同解，等价于对应矩阵的行空间 相同。