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4.3.1 解析解(精确解)与数值解(近似解)的概念 解析解是指通过严格的公式推导得出的解,解析解是一个封闭形式的表达式,所以也叫封闭解,它能够给出未知函数在求解区域内的连续解(如图2- 19A)。 定义部分看着比较枯燥,我们用中学时代学过的一元二次方程来举例说明,一元二次方程的一般形式为: 一元二次方程其解析解为: 一元二次方程求解通式即我们可以通过一个通式,得到我们想要的任意点的值。 但是,并不是对所有的方程都可以得到解析解。比如,我们在2.4 节得到的控制流体运动的微分方程: CFD控制方程一般形式上式涉及到非线性偏微分方程,人类目前的数学知识还无法得到其精确的解析解。得不到精确解,工程界又想要一个解,那该怎么办呢? 山重水复疑无路,柳暗花明又一村。在纯粹数学家一筹莫展之时,应用数学家出手了。应用数学家发明了将微分方程转化成代数方程的方法。就如同第4.1和4.2节的内容告诉我们的那样,我们可以将上式中微分形式转换成代数形式,从而得到代数方程。人类目前已经有足够的数学知识来求解代数方程,通过求解代数方程,可以得到一个近似的数值解(如图2- 19B),通过观察这个数值解,人类可以窥探流体世界的一些端倪。用一句话概括CFD的主要思想:把偏微分方程转化成代数方程,通过求解代数方程,得到对应问题的数值解(近似解)。 将微分方程转化成代数方程涉及到微分方程的离散化。而代数方程的求解需要一个个离散点上的值(如图2- 19B),这又涉及到求解域的离散化。 图2- 19解析解与数值解的对比即我们需要两类离散: 一类是求解域的离散化,即CFD中的画网格。 一类是微分方程的离散化,即各种离散方法。 所以,本章下面的内容主要是研究怎么离散化求解域和离散化微分方程,研究怎么把离散后的求解域和代数方程联系起来。 ——田东 |
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