信号第五章

用频域法分析问题，通过傅里叶变换求得频谱函数 F(jω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdtF(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dtF(jω)=∫−∞∞​f(t)e−jωtdt

但有些函数，如单位阶跃函数ε(t)\varepsilon(t)ε(t)虽然存在傅里叶变换，却难用上式求得；二有些函数如指数增长函数eαtε(t)(α;0)e^{\alpha t}\varepsilon(t)(\alpha;0)eαtε(t)(α>0)不存在傅里叶变换（不收敛）。 所以可以用衰减因子e−σte^{-\sigma t}e−σt(σ\sigmaσ为常实数)乘信号f(t)f(t)f(t)，根据不同信号的特性，选取合适的σ\sigmaσ，使乘积信号f(t)e−σtf(t)e^{-\sigma t}f(t)e−σt当t→\rightarrow→±∞\pm \infty±∞时信号幅度趋于0，从而使积分

F[f(t)e−σt]=∫−∞∞f(t)e−σte−jωtdt=∫−∞∞f(t)e−(σ+jω)tdt\mathscr{F}[f(t)e^{-\sigma t}]=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{{-\sigma t}}e^{-j\omega t}dt=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-(\sigma+j\omega)t}dtF[f(t)e−σt]=∫−∞∞​f(t)e−σte−jωtdt=∫−∞∞​f(t)e−(σ+jω)tdt

收敛。上式积分结果是(σ+jω)(\sigma+j\omega)(σ+jω)的一个函数，令其为Fb(σ+jω)F_b(\sigma+j\omega)Fb​(σ+jω),即

Fb(σ+jω)=∫−∞∞f(t)e−(σ+jω)tdtF_b(\sigma+j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-(\sigma+j\omega)t}dtFb​(σ+jω)=∫−∞∞​f(t)e−(σ+jω)tdt

相应的傅里叶逆变换为 f(t)e−σt=12π∫−∞∞Fb(σ+jω)ejωtdωf(t)e^{-\sigma t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_b(\sigma+j\omega)e^{j\omega t}d\omegaf(t)e−σt=2π1​∫−∞∞​Fb​(σ+jω)ejωtdω

上式两端同乘以e−σte^{-\sigma t}e−σt，得 f(t)=12π∫−∞∞Fb(σ+jω)e(σ+jω)tdωf(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_b(\sigma+j\omega)e^{(\sigma+j\omega )t}d\omegaf(t)=2π1​∫−∞∞​Fb​(σ+jω)e(σ+jω)tdω

令s=σ+jωs=\sigma+j\omegas=σ+jω，其中σ\sigmaσ为常数，则dω=dsjd\omega=\frac{ds}{j}dω=jds​,代入得 Fb(s)=∫−∞∞f(t)e−stdt(1)F_b(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-st}dt(1)Fb​(s)=∫−∞∞​f(t)e−stdt(1)

f(t)=12πj∫σ−jωσ+jωFb(s)estds(2)f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\omega}^{\sigma+j\omega}F_b(s)e^{st}ds(2)f(t)=2πj1​∫σ−jωσ+jω​Fb​(s)estds(2)

(1)为双边拉普拉斯变换，(2)式称为双边拉普拉斯逆变换

只有选择适当的σ\sigmaσ值才能使得积分收敛，信号f(t)f(t)f(t),信号f(t)f(t)f(t)的双边拉普拉斯变换Fb(s)F_b(s)Fb​(s)存在。能使积分收敛，复变量s在复平面上的取值趋于称为象函数的收敛域,简记为ROC。为简便，分别研究因果信号（在t0区间f(t)=0） 1.因果信号

f1(t)=eαtε(t)={0,t;0eαt,t;0(α为实数)f_1(t) =e^{\alpha t}\varepsilon(t) =\begin{cases} {0,t;0}\\ {e^{\alpha t},t;0} \end{cases}(\alpha 为实数)f1​(t)=eαtε(t)={0,t0​(α为实数)

其拉普拉斯变换 将f1(t)f_1(t)f1​(t)代入到拉氏变换式中 Fb1(s)=∫0∞eαte−stdt=e−(s−α)t−(s−α)∣0∞=1s−α[1−lim⁡t→∞e−(σ−α)t⋅e−jωt]F_{b1}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{\alpha t} e^{-st}dt=\frac{e^{-(s-\alpha)t}}{-(s-\alpha)}|_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-\alpha}[1-\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{-(\sigma-\alpha)t}\cdot e^{-j\omega t}]Fb1​(s)=∫0∞​eαte−stdt=−(s−α)e−(s−α)t​∣0∞​=s−α1​[1−t→∞lim​e−(σ−α)t⋅e−jωt]

={1s−α,Re[s]=σ;α不定，σ=α无界，σ;α=\begin{cases}{\frac{1}{s-\alpha},Re[s]=\sigma;\alpha}\\{不定，\sigma=\alpha} \\{无界，\sigma;\alpha}\end{cases}=⎩⎪⎨⎪⎧​s−α1​,Re[s]=σ>α不定，σ=α无界，σα时，其拉普拉斯变换存在，即因果引号象函数的收敛域为s平面Re[s];αRe[s];\alphaRe[s]>α的区域

2.非因果信号

f2(t)=eβtε(−t)={eβt,t;00,t;0(β为实数)f_2(t) =e^{\beta t}\varepsilon(-t) =\begin{cases} {e^{\beta t},t;0}\\ {0,t;0} \end{cases}(\beta 为实数)f2​(t)=eβtε(−t)={eβt,t0​(β为实数)

其拉普拉斯变换 将f2(t)f_2(t)f2​(t)代入到拉氏变换式中 Fb2(s)=∫−∞0eβte−stdt=e−(s−β)t−(s−β)∣−∞0={无界,Re[s]=σ;β不定，σ=β1−(s−β)，σ;βF_{b2}(s)=\int_{-\infty}^{0}e^{\beta t} e^{-st}dt=\frac{e^{-(s-\beta)t}}{-(s-\beta)}|_{-\infty}^{0}=\begin{cases}{无界,Re[s]=\sigma;\beta}\\{不定，\sigma=\beta} \\{\frac{1}{-(s-\beta)}，\sigma;\beta}\end{cases}Fb2​(s)=∫−∞0​eβte−stdt=−(s−β)e−(s−β)t​∣−∞0​=⎩⎪⎨⎪⎧​无界,Re[s]=σ>β不定，σ=β−(s−β)1​，σ0,t0​

其变换和逆变换的关系简记为

f(t)←→F(s)f(t)\leftarrow\rightarrow F(s)f(t)←→F(s)

f(t)f(t)f(t)要满足条件 (1)有限区间a0,t0​ 此积分应当在收敛域内进行，若选常数σ;σ0\sigma;\sigma_0σ>σ0​[σ0\sigma_0σ0​为F(s)的收敛坐标]，则积分路线是横坐标为σ\sigmaσ，平行于纵坐标轴的直线。实用中，常设法将积分路线变为适当的闭合路径，应用复变函数中的留数定理求得原函数。若F(s)是s的有理分式，可将F(s)展开为部分分式，然后求得其原函数。若F(s)是s的有理分式，可将F(s)展开为部分分式，然后求得其原函数。 一.查表法 查课本附录五，例题见P232 二.部分分式展开法