z=xy的图形 &空间曲面所围形体的体积 &空间曲面相截的面积

精髓二：

求用平面x+y+z=b与曲面x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=a^2相截所的截断面的面积？

1．先用文灯的变量代换法：配方消z得 (x-y)2+(2x+y-b)2+(x+2y-b)2=2a2 ① , 所围区域为D令u+v=2x+y-b , u-v= x+2y-b化简得 u2+3v2=a2 ，所围区域为D*雅各宾行列式 J = 偏（x，y）/ 偏 (u ，v) = － 2 /3面积 S = 曲面积分 = √3*二重积分D = √3*（2 /3）*二重积分D*= √3 *（2 /3）* π * a * (a /√3 ) =（2 /3）π a2    下面是我自己的方法：曲面有轮换对称性，对称轴是x=y=z，此轴与平面垂直，故断面是正横截面根据经验知道曲面是空间的圆柱面，在平面与柱面交线上取点P(x，y，z)平面和对称轴的交点为G(b/3，b/3，b/3)= (c，c，c)两点距离的平方 d2=(x-c)2+(y-c)2+(z-c)2=(x-c)2+(y-c)2+(b-c-x-y)2=2x2+2y2+2xy-2bx-2by+2c2+(b-c)2=2x2+2y2+2xy-2bx-2by+(2/3)b2=(2/3)a2(∵由 ①可得6x2+6y2+6xy-6bx-6by+2b2=2a2，而P同时在平面和曲面上)故知道交线是空间平面上半径平方是(2/3)a2的圆，其面积是（2 /3）π a2。