多元函数微分法及其应用 第二节 偏导数

相信中学阶段搞过竞赛的同学对此毫不陌生，接下来我们将对此进行介绍。

首先来只介绍针对多元函数中的一个元素的偏导。

​ 同前面一样，我们以二元函数 z=f(x,y) 为例子：若在变化中，只有 x 在变化，而 y 固定不变；此时就可以将 y 视为常数，而 z=f(x,y) 也就是一个关于 x 的函数。此时函数关于 x 的导数（视 y 为常数），就称二元函数 z=f(x,y) 对于 x 的偏导数。

标准定义如下：

​ 若 z=f(x,y) 在区域 D 内每一点 (x,y) 对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于 x,y 的函数，它就被称为 \underline{函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数} ，（对 y 同理）记作 \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x} 或 f_x(x,y)

为什么说“这个偏导数就是一个关于 x,y 的函数”？

​ 我们可以这样理解：因为区域 D 内每一点 (x,y) 对 x 的偏导数都存在，随着点 (x,y) 的变化，对 x 的偏导数的值就在变化，此时将 (x,y) 视为自变量。对 x 的偏导数的值就为因变量，那么这样就可以视为一个关于 (x,y) 的函数。

注意：对 x 的偏导数 不是 关于 x 的函数。

\color{red}{注意区分偏导数与偏导函数}

​ 不难发现， f(x,y) 在 (x_0,y_0) 处对 x 的偏导数 f_x(x_0,y_0) 是偏导函数 f_x(x,y) 在点 (x_0,y_0) 处的函数值（对 y 的同理）

​ 类似于一元函数的导函数与在某一点处的导数概念一样，我们在没有歧义的地方称偏导函数为 \underline{偏函数} 。

​ 在学习一元函数的导数时，我们知道导数表示的是函数的变化率。对于多元函数也同理。

那么偏导数又有什么样的几何意义呢？（此处尝试用自己的理解来叙述比较繁琐，直接给出课本截图）

简单来讲，偏导数的几何意义就是：

​ “偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率”

此处给出课本上的两例题：

​ ①：设 z=x^y,(x >0,x\neq 1) ，求证： \frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{lnx}\frac{\partial z}{\partial y}=2z

​ 根据我们所学的相关知识，有 \frac{\partial z}{\partial x}=y\cdot x^{y-1},\frac{\partial z}{\partial y}=x^ylnx

​ 那么就有 \frac{x}{y}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{lnx}\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{y} \cdot yx^{y-1}+\frac{1}{lnx} x^ylnx=2x^y=2z

​ ②：已知理想气体状态方程 PV=RT （ R 为常量），求证： \frac{\partial P}{\partial V}\cdot \frac{\partial V}{\partial T}\cdot \frac{\partial T}{ \partial P}=-1

​ P=\frac{RT}{V},\frac{\partial P}{\partial V}=-\frac{RT}{V^2}\\ V=\frac{RT}{P},\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{R}{P} \\ T=\frac{PV}{R},\frac{\partial T}{\partial P} =\frac{V}{R} \\ \frac{\partial P}{\partial V}\cdot \frac{\partial V}{\partial T}\cdot \frac{\partial T}{ \partial P}=-\frac{RT}{V^2}\cdot\frac{R}{P}\cdot\frac{V}{R}=-\frac{RT}{PV}=-1

​ 二元函数 z=f(x,y) 若在区域 D 中有偏导数 \frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x,y),\frac{\partial z}{\partial y}=f_y(x,y) 。若这两个关于 x,y 的函数也有偏导数存在，那么就称它们的偏导数为二元函数 z=f(x,y) 的二阶偏导数。

\color{red}{按照对变量求导次序的不同} ，有以下四种二阶偏导数：

\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y)\\ \frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)\\ \frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y)\\ \frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial ^2z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x,y)

按照课本上的来理解好像不是很容易。这种解释或许更加直观：

​ \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z}{\partial y \ \partial x}=(f_x)y=f{xy}(x,y)

其中， f_{xy}(x,y) 与 f_{yx}(x,y) 被称为 \underline{混合偏导数} 。

结合上面所介绍的，不难理解 n 阶偏导数的含义。

“二阶及二阶以上的偏导数又称为高阶偏导数”

但是它的几何意义是什么呢？（此处只针对一下二阶偏导数）

​ 二阶导数反映着图像的曲率，所以二阶偏导数并不难理解，也就是沿着 x 轴或 y 轴方向的曲线的曲率。

​ 而二阶混合偏导数又该如何理解呢？

​ 考虑到二维情形上的时候，单凭两个方向无法确定图像的曲率/弯曲程度（这里的二维认定为空间中的平面，而之前的曲线，一定要理解为平面上的曲线），这时候就涉及到了二阶混合偏导数的几何意义。由于结合上面的内容解释起来比较困难，不妨来看看大神是怎么解释的--->点这里

我们再由一个例子来引出一个定理：

​ 已知： z=x^3y^2-3xy^3-xy+1 ，求 \frac{\partial^2 z }{\partial x^2},\frac{\partial^2 z}{\partial y \ \partial x},\frac{\partial ^2z}{\partial x \ \partial y},\frac{\partial^2 }{\partial y^2} 及 \frac{\partial^3 z }{\partial x^3}

​ 中间过程就略过了。

​ 容易求得 \frac{\partial^2 z }{\partial x^2}=6xy^2 ， \frac{\partial^2 z}{\partial y \ \partial x}=6x^2y-9y^2-1 ， \frac{\partial ^2z}{\partial x \ \partial y}=6x^2y-9y^2-1 ， \frac{\partial^2 }{\partial y^2}=2x^3-18xy ， \frac{\partial^3 z }{\partial x^3}=6y^2

我们发现这个例子中 \frac{\partial^2 z}{\partial y \ \partial x}=\frac{\partial ^2z}{\partial x \ \partial y} 。实际上，这便是定理的内容：

也就是说 \color{red}{二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关}

有句很有趣的话或许能帮助大家进一步理解（出处忘记了）："爸爸的爷爷一定是爷爷的爸爸，但妈妈的奶奶不是奶奶的妈妈"

对于高阶也同理，这里就不再赘述。

注：可偏导不一定连续，连续不一定可偏导。

最后提一下 Laplace 方程：

其它相关资料请读者自行检索。