二阶微分线性方程的通解如何求？

不知道题主说的是齐次的、非齐次的还是常系数的，这里我都写了吧

正好我也是考研的，顺便复习一下

二阶线性齐次方程一般由以下形式组成

其中p（x）和q（x）均为x的多项式。

该方程的通解为其两个特解的线性组合

简单来说就是如果你知道他有两个特解比如y1和y2，那通解就可以写成如下形式

y=C1y1+C2y2(C1，C2均为常数)

但是，目前数学上没有一般方法可以说告诉你怎么求这个特解，这个得看题目给。

与线性齐次微分方程不同，非齐次方程的等式将等式右端替换成了一个f(x)，即

仔细对比一下，右边不是0了

这里通解需要

①方程的齐次形式（即fx=0)时的两个通解②非齐次方程的一个特解y*

此时非齐次方程的通解可以写成

y=C1y1+C2y2+y*(C1，C2均为常数)

需要注意的是，

①两个任意非齐次方程的特解相减，其结果一定是齐次方程的解。

②如果有齐次部分相同、但是非齐次部分分别为fA和fB的两个非齐次方程，他们的特解分别是yA和yB，

那么会出现对于齐次部分依旧相同但非齐次部分是fA+fB的非齐次方程，其特解为yA+yB

（就是如果非齐次部分是一个多项式，你可以把它拆开变成多个单项式的求和，最后挨个求解并把他们加起来）

这是考研过程中的一个比较重要的考点。

与前面的齐次方程不同，p(x)和q(x)这里变成了常数，表达式也变成了这个形式↓

（pq均为常数，前面的那个是x的多项式）

这里需要介绍一下它的特征方程，我们这里将未知的特征值写成r，那么特征方程就是

（看出规律了吗？y有多少阶导对应的r就是多少次方

y的二阶导对应y的平方，

一阶导对应一次方也就是它本身，

y不导就是0阶导对应的0次方也就是1）

根据一元二次方程的特性，这个特征方程求出来的特征值会出现以下三种情况：

①两个不相同的实数解（即r有两个数），那么原方程的通解可以写成

②两个相同实数根（即r就一个解），

那么原方程的通解可以写成

（也就是重复的那个根c2乘以一个x，再把他们加起来。）

③两个虚数根（即r=a±bi这种形式）

那么原方程的通解可以写成

看到没有？正常实数的情况下相当于b＝0就把三角函数给消掉了

不用担心b的正负数的问题，这里有c抵消化了正负带来的影响。

一样的规律，把齐次方程的0换成一个奇奇怪怪的f(x)

写解的形式依旧是通解+特解。不过记得把多项式拆了之后分段求各自特解最后再加起来。

（比如fx=x^2+2x，这里就要把x^2和2x拆了分别求特解，最后把两个特解加起来。）

首先记住，通解中会有两个特征方程的解也就是特征值，根据他们找齐次通解。

但是这里我们需要关注一下齐次特征值的解以及f(x)的样式，这会使得特解的形式有点复杂，我尽量形象的讲一下。

f（x）=（x^m）*（e^ax）这样的

（注意m和a都可以为0）

那么特解就写成

其中k是特征值里面出现了几次a，

出现一次就是乘x，两次就x平方，没有就不乘这个x的k次方

（更正：x^m那里准确来说应该是x的同m次的多项式，可能有个系数什么的）

②f（x）带三角函数的

fx差不多长这个样子的（同样的，注意这里的l，m，a，b都有可能是0）

看着有点头晕是不是？坚持住！

它的解可以写成

k的取值选择是

如a+bi是齐次方程的特征值（就是虚数解之一），那k等于1，也就是要乘一个x

否则k等于0，也就是那个x^k=1，就不管他了

对x^n1和x^n2，他们是两个x的n次多项式，n是l和m两个中较大的那个

通解求法就这些，慢慢看慢慢背。

后面看有没有机会找点例题写里头。