对数函数lnx各大放缩公式松紧程度对比

在学到导数这一章时，关于指对函数的放缩问题，大家往往觉得非常困难，无从下笔。那么，我们不妨对放缩公式进行深入研究，看看里面是否有门道？

大家都清楚，高中阶段最常用的对数放缩公式为：

这个公式也是教材上唯一出现的有关对数放缩公式，也是有心学习导数放缩的同学们必须掌握的入门公式！

但有的时候，在证明含有对数函数的不等式时，同学们会发现使用上述公式进行放缩后，得出一个错误的式子，这是什么原因呢？

观察图像，

经过观察，我们不难发现：x-1的图像是lnx的切线，因此上述公式也叫切线放缩。

我们还可以发现：随着x的不断增大，两个函数图像的距离也将越来越大，而在x不断接近于0时同理。

因此，同学们之所以会证明失败，除了计算错误或方法使用错误之外，还有一种可能就是：由于上述公式的放缩程度过宽，导致同学们在放缩时，跨过了待证不等式的松紧程度，进而得出错误的式子致使不等式无法证明。

那么如何解决这种问题呢？我们再观察一下函数图像，可以发现在两个函数之间存在着巨大空隙。

因此，我们产生了这样一个想法：能否在两者的空隙之间插入一个函数，使得对数函数的放缩式进一步精确呢？

那么，下面是有关对数函数的常用放缩公式，有兴趣的同学们可以在私下里进行证明：

经过分类整理之后，可以分成两种不同情况：分别为：0＜x＜1；x＞1。

将上述各个放缩公式的松紧程度进行比较，可以得到以下三种情况：0＜x＜1；1＜x＜2；x＞2。

其函数图像如下（其中仅lnx和x-1的图像为黑色）：

不难发现，切线放缩公式的松紧度和其他公式比起来，是最宽松的一个了！

下面我们将与lnx最为接近的两个函数抽取出来，得到目前为止松紧度最紧的放缩公式（学有余力的同学建议背诵）：

图像如下图所示（其中lnx的图像为黑色）

这是在高中阶段尚未解除泰勒公式之前，松紧度最紧的对数放缩公式了。如果能掌握上述公式及其证明，那么接下来在指对函数的证明中会给同学们如虎添翼！希望同学们能够从中受益，谢谢大家支持！