为什么样本方差的分母为n

为什么样本方差的分母为n-1而不是n？样本方差与样本均值，都是随机变量，都有自己的分布，也都可能有自己的期望与方差（由此进一步讨论估计量的无偏性与有效性）。取分母n-1，可使样本方差的期望等于总体方差，即这种定义的样本方差是总体方差的无偏估计。

这样看，x1,x2,...xn是n个可以自由变化的样本，互不影响。而x1-xbar, x2-xbar,...xn-xbar是否也是n个自由变化的呢？不是……因为这n个统计量受到一个约束条件的影响就是之和等于0。如果我们记 yi=xi-xbar,也就是说y1+y2+...yn=0,这样我们可以任意变动其中n－1值，比如取定了y1,y2,...y(n-1)，那么yn就不能任意变化，yn=-(y1+y2+y(n-1))。这个只是从自由变化的角度直观解释，实际上证明分布比较烦琐……

举个例子：比如说让十跟人任意取十个数,很容易理解可以随便取.十个都是自由的.如果我加一个条件,十个人取十个数,但是这是个书加起来必须得零.第一个人可以随便取,第二个人也可以,第九个也可以,都是自由的,但是第十个人不能随便自由取,只能取特定的数,才能保证这十个数的和是零.所以加了一个条件就丢了一个自由度

由于有一个约束条件，所以最后一个变量不能随便取。为了满足这个约束条件，第n个变量不能随机取值，它的值由前n-1个变量确定了。问题是：虽然第n个变量不能随机取，假设取10以满足约束条件，但10与均值的离差仍然存在。分子中，包括了这个离差平方，但分母却不考虑它。是不是可以这样理解：按照方差的“定义”，分母仍应取n。只是为了保证无偏性，对样本方差进行调整。通过计算，分母应当取n-1。这时的方差实际是“调整后的样本方差”，只不过我们仍将它叫做“样本方差”。

用样本去估计总体，当然就要评估估计的好坏如何。第一个评估方面就是先要评估这个估计是有偏估计还是无偏估计，无偏估计更为有效。除以n所得到的样本方差虽然也是总体方差的估计量，但是不是无偏估计量，而除以n-1所得到的样本标准方差则是无偏估计量。正因为除以n-1所得到的样本标准方差是总体的无偏估计，所以它更科学点，误差小些。之所以选择n-1，不是巧合，而是数学推导下的结果。

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