有关平方或高次方的公式整理&一元高次方程的求解

这篇博文记录一下数学中常用的有关平方或高次方的一些公式。

下面一部分汇总了一些重要的结论

( a + b ) 2 = a 2 + a b + b a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2 (a+b)2=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 这种完全平方公式大家应该很熟悉吧。但是想对它进行扩充： n n n 项和的 n n n 次方该怎样表示呢？

下面再看两个不同项的 n n n 次方： ( a + b ) n (a+b)^n (a+b)n，这个展开项有现成的公式，即二项式定理！

( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a ( n − 1 ) b + ⋯ + C n k a ( n − k ) b k + ⋯ + C n n b n (a+b)^n=C^0_na^n+C^1_na^{(n-1)}b+\cdots+C^k_na^{(n-k)}b^k+\cdots+C^n_nb^n (a+b)n=Cn0​an+Cn1​a(n−1)b+⋯+Cnk​a(n−k)bk+⋯+Cnn​bn

n次方差之差公式： a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 3 + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 ) a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^3+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}) an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b3+⋯+abn−2+bn−1)

n次方之和公式。当n为奇数时， a n + b n = ( a + b ) ( a n − 1 − a n − 2 b + a n − 3 b 3 + ⋯ − a b n − 2 + b n − 1 ) a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^3+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}) an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b3+⋯−abn−2+bn−1) 当 n 为偶数时，没有n次方和公式，实际上，n为偶数时 a n − b n = ( a + b ) ( a n − 1 − a n − 2 b + a n − 3 b 3 + ⋯ − a b n − 2 + b n − 1 ) a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^3+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}) an−bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b3+⋯−abn−2+bn−1)

也就是说，当 n 为偶数时， a n − b n a^n-b^n an−bn 有两种表达形式；只有当n为奇数时，才有n次方之和公式。

考虑 n n n 个不同项的平方： ( a + b + c + ⋯   ) 2 = ? (a+b+c+\cdots)^2=? (a+b+c+⋯)2=?

这里先不关心展开后每一项的具体内容是什么，首先关心可以展开成多少项，比如 ( a + b ) 2 (a+b)^2 (a+b)2 在展开后，不整理的话有 4 4 4 项，整理之后有 3 3 3 项。为什么区分整理前后呢？因为在某些运算规则下，乘法是不具有交换律的，比如矩阵的乘法。下面列一个表格。

一元一次方程（又叫一元线性方程）

a 1 x + x 0 = 0   ( a 1 ≠ 0 ) a_1x+x_0=0\ (a_1\neq 0) a1​x+x0​=0 (a1​=0) 解为 x = − a 0 / a 1 x=-a_0/a_1 x=−a0​/a1​

一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0 (a\neq 0) ax2+bx+c=0(a=0) 其解为 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac ​​

判别式： Δ = b 2 − 4 a c \Delta=b^2-4ac Δ=b2−4ac