双重求和∑∑的定义及性质

      自从约瑟夫·傅立叶于1820年引入求和符号∑（大写的希腊字母sigma）以来，求和∑以及双重求和∑∑在数学公式推导，命题证明中被经常使用，掌握它的定义和性质对于提高我们的数学能力是必不可少的。 注意我们在此只讨论有限项的求和。 结合律： ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i \sum_{i=1}^{n}( a_{i}+b_{i})=\sum_{i=1}^{n} a_{i}+\sum_{i=1}^{n} b_{i} i=1∑n​(ai​+bi​)=i=1∑n​ai​+i=1∑n​bi​ 分配律： ∑ i = 1 n r a i = r ∑ i = 1 n a i ( r 为任意常数 ) \sum_{i=1}^{n} r a_{i}=r \sum_{i=1}^{n} a_{i} \quad( r为任意常数) i=1∑n​rai​=ri=1∑n​ai​(r为任意常数) 从函数角度： ∑ i = 1 10 g ( k , l ) f ( i , j ) = g ( k , l ) ∑ i = 1 10 f ( i , j ) \sum_{i=1}^{10} g(k, l) f(i, j)=g(k, l) \sum_{i=1}^{10} f(i, j) i=1∑10​g(k,l)f(i,j)=g(k,l)i=1∑10​f(i,j) g(k, l)是与下标i无关的函数 分段： ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i \sum_{i=1}^{n} a_{i}=\sum_{i=1}^{m} a_{i}+\sum_{i=m+1}^{n} a_{i} i=1∑n​ai​=i=1∑m​ai​+i=m+1∑n​ai​

有一个n行m列的数表： a 11 , a 12 , a 13 , ⋯   , a 1 m a 21 , a 22 , a 23 , ⋯   , a 2 m a 31 , a 32 , a 33 , ⋯   , a 3 m ⋯ a n 1 , a n 2 , a n 3 , ⋯   , a n m \begin{array}{l}{a_{11}, a_{12}, a_{13}, \cdots, a_{1 m}} \\ {a_{21}, a_{22}, a_{23}, \cdots, a_{2 m}} \\ {a_{31}, a_{32}, a_{33}, \cdots, a_{3 m}} \\ {\cdots} \\ {a_{n 1}, a_{n 2}, a_{n 3}, \cdots, a_{n m}}\end{array} a11​,a12​,a13​,⋯,a1m​a21​,a22​,a23​,⋯,a2m​a31​,a32​,a33​,⋯,a3m​⋯an1​,an2​,an3​,⋯,anm​​

数表里的每个元素都由两个相互独立的数i，j决定，即每一项都是i，j的二元函数，一般项为aij ，i = 1,2…n; j = 1,2…m 这n × m项的和记为 ∑ j = 1 m ( ∑ i = 1 n a i j ) \sum_{j=1}^{m}(\sum_{i=1}^{n} a_{ij}) ∑j=1m​(∑i=1n​aij​) 或者 ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 m a i j ) \sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{m} a_{ij}) ∑i=1n​(∑j=1m​aij​)

第i行的元素的和记为Ri： R i = ∑ j = 1 m a i j = a i 1 + a i 2 + . . . + a i m R_{i} = \sum_{j=1}^{m} a_{ij} = a_{i1} + a_{i2} + ... + a_{im} Ri​=j=1∑m​aij​=ai1​+ai2​+...+aim​ 一共有n行，所有行元素的和，即数表所有元素的和记为S： S = ∑ i = 1 n R i = ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 m a i j ) S = \sum_{i=1}^{n}R_{i} = \sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{m} a_{ij}) S=i=1∑n​Ri​=i=1∑n​(j=1∑m​aij​)

第j列的元素的和记为Cj： C j = ∑ i = 1 n a i j = a 1 j + a 2 j + . . . + a n j C_{j} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} = a_{1j} + a_{2j} + ... + a_{nj} Cj​=i=1∑n​aij​=a1j​+a2j​+...+anj​ 一共有m列，所有列元素的和，即数表所有元素的和记为S： S = ∑ j = 1 m C j = ∑ j = 1 m ( ∑ i = 1 n a i j ) S = \sum_{j=1}^{m}C_{j} = \sum_{j=1}^{m}(\sum_{i=1}^{n} a_{ij}) S=j=1∑m​Cj​=j=1∑m​(i=1∑n​aij​) 所以 ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 m a i j ) = ∑ j = 1 m ( ∑ i = 1 n a i j ) \sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{m} a_{ij}) = \sum_{j=1}^{m}(\sum_{i=1}^{n} a_{ij}) i=1∑n​(j=1∑m​aij​)=j=1∑m​(i=1∑n​aij​) 也可以写成 ∑ 1 < = i < = n , 1 < = j < = m a i j \sum_{1