常用随机输入模型及Witness随机函数

    本节介绍仿真中常用的随机输入模型的数学特征以及在Witness软件中对应的随机函数语法格式，主要目的有两方面：（1）熟悉各种随机输入模型的pdf函数及其曲线，为将来根据实际系统收集的数据的直方图判断实际数据服从哪种输入模型奠定直观印象；（2）熟悉各种Witness随机函数的语法格式以及对应的参数含义。

1.1 均匀分布数学特征

一个随机变量x是在区间[a，b]上的均匀分布，如果它的pdf是

其cdf是：

其中：

对于所有满足的，和区间的长度成正比关系。

均匀分布的均值和方差是

，       

均匀分布的pdf和cdf分别如下图所示：

均匀分布在仿真中起到了十分重要的作用。在0~1之间的均匀分布随机数提供了产生其他随机变量的基础。

例1：正在开发一个仓库运行的仿真。大约每3分钟有一个电话需要铲车司机到某一个地点。厨师假设是电话到达间隔时间是均值为3分钟的均匀分布。根据式（1），均值为3的均匀分布及其最大可能的变化范围应具有参数a=0，b=6分钟。在很有限的数据加上感兴趣的量以随机方式变化的情况下，可以先假设其为具有最大方差的均匀分布，至少在没有更多可用数据之前是这样。

例2：从早上6：40开始知道早上8：40，公交车每隔20分钟到达特定的车站。一个乘客不知道时间表，他每天会在早上7：00到早上7：30之间随机到达（均匀分布）。这个乘客等待公交车的时间超过5分钟的概率是多少？

只有当乘客的到达时间在早上7：00到早上7：15之间或是早上7：20到早上7：30之间时，他才会等待超过5分钟。如果X是随机变量，定义为早上7：00以后乘客到达车站时已过的分钟数，则所求的概率为：

+

因为X是在（0，30）上的均匀分布的一个随机变量，所以，所求概率是：

1.2 Witness均匀分布函数UNIFORM（）

该函数提供服从均匀分布的样本值，返回值为实数。用于等概率获得指定范围内的数值。

语法结构：

UNIFORM（min，max，prns）

参数：

min：最小值，实数；

max：最大值，实数；

Prns：为随机数流，整数。

函数调用示例：

R = UNIFORM(3.0,8.0,1)

适用情况：

    对某变量的数据知之甚少，并且希望获得特定范围内的实数值时，就采用该函数。

1.3 Witness整数均匀分布函数IUNIFORM（）

该函数提供服从整数均匀分布的样本值，返回值为整数。可以用来表示从指定范围内，等概率获取整数的情况。

语法结构：

IUNIFORM（min，max，prns）

参数：

min：最小值，整数；

max：最大值，整数；

Prns：为随机数流，整数。

分布曲线：

当min=0, max=10时，分布曲线如下：

函数调用示例：

R = IUNIFORM(1,4,3)

适用情况：

当仅仅知道某一变量在两个整数之间取值，而对其他情况一无所知时，首选的分布就是整数均匀分布函数。

1.4 Witness（0-1）均匀分布函数RANDOM（）

该函数提供服从0-1均匀分布的样本值，返回值为[0，1]之间的实数，返回0于1之间任意小数的概率是相同的。

语法结构：

RANDOM（Prns）

参数：

Prns：为随机数流，整数。

分布曲线：

分布曲线如下图：

函数调用示例：

R = RANDOM(1)

适用情况：

使用此函数作为我们自定义随机分布函数中的随机种子数。

对独立事件之间的时间进行建模；或对于无记忆的过程时间进行建模（在过程结束之前，知道已经过去了多少时间并不能为得出还需要多少时间提供信息）。例如：数量巨大的相互独立的隐含顾客的到达之间的时间。指数分布是一个变化很强的分布，因为它经常得出易于处理的模型，因此在某些时候他被过度的使用。记住：如果事件的间隔时间服从指数分布，则一个固定时期内的事件发生次数服从泊松分布。

2.1 指数分布数学特征

随机变量X被认为是具有参数λ>0的指数分布，如果其概率密度函数为

指数随机变量的分布函数如下：

其中： 可以理解为单位时间内事件发生的次数。例如服务系统中单位时间内顾客到达的数量序列x1，x2，x3，x4，......服从均值为的指数分布，即为单位时间内顾客平均到达数量，或者叫到达速率。而对于任意的i，即在第i单位时间段内，顾客到达数量的期望值为：

当到达是完全随机的时候，指数分布用来对到达间隔时间进行建模，指数分布也用于对高度变化的服务时间建模。在这些例子中，时速率：每小时的到达数和每分钟的服务次数。指数分布还可以用来对灾难性（瞬间）损害的部件（如灯泡）的寿命进行建模，此时是损害速率。

下图显示了几种不同的指数分布的pdf。纵轴上的截距值总是等于的值。注意，所有的pdf曲线最后都相交。（为什么？）

指数分布的均值和方差分别是：

，       

可以看出均值和标准差是相等的，都是速率的倒数。

例3：假设一盏工业用灯的寿命（以千小时计）服从损坏速率=1/3的指数分布，即平均每3000小时损坏一盏。该灯的使用寿命能超过其平均寿命的概率是

其概率分布函数是：

所以得到。

不论随机变量的是多少，上式的结果是一样的，即对于任何指数分布变量，其大于平均值的概率是0.368。

该工业用灯的寿命在1000-2000小时之间的概率计算如下：

指数分布的一个重要性质是无记忆性，这意味着对于所有的：

证明如下：

假设X表示某种部件（如电池、灯泡、计算机芯片、激光器等）的寿命，并假设X服从指数分布。则指数分布的无记忆性说明：如果该部件已经生存了s小时，其生存时间至少为s+t小时的概率，与在初始时刻，部件至少生存t小时的概率是一样的。若部件在时刻s（X>s）仍然处于生存状态，那么其剩余生存时间（用X-s表示）的分布和一个新部件的生存时间的分布是一样。就是说，部件并不“记忆”它已经使用了s小时。使用过的部件和新部件一样良好。

例4：求例3种的工业用灯在工作了2500个小时后，再生存1000个小时的概率。

计算表达式如下：

p=

一般来讲，假设一个寿命服从参数为的指数分布的部件可在任何时刻观测和得到其工作的情况，那么其剩余寿命的分布也是参数为的指数分布。指数分布是唯一具有无记忆特性的连续分布（几何分布是唯一具有无记忆特性的离散分布）。

2.2 Witness指数分布函数NEGEXP（）

该函数提供服从负指数分布的样本值，返回值为实数。可以认为它是泊松分布的补集。

语法结构：

NEGEXP（mean，prns）

参数：

mean:均值，实数；

Prns：为随机数流，整数。

函数调用示例：

R = NEGEXP(1.0,1)

适用情况：

相邻事件发生的时间间隔，例如：顾客到达时间间隔，及其故障时间间隔。