校准三维模型基矩阵的函数映射的对应关系计算

对应关系的构建通常是根据局部特征寻找两个或多个模型之间的相同或相似的对应元素，这些元素可以是直接相关的，也可以是语义相关的。在两个或多个三维几何模型之间建立正确的对应关系是一项重要的基础性研究工作[1]。对应关系在计算机图形学和计算机视觉等领域有广泛的应用，例如模型变形[2]、模型分割[3]、模型插值[4]、模型分析与检索[5]、网格参数化[6]等。

一般情况下，根据模型表面的距离度量，三维模型的变换分为等距变换(isometric transformation)和非等距变换(non-isometric transformation)。在模型的对应关系中，等距被定义为给定点集上对应点在其度量空间上的距离保持映射，并且是对应点(该点在变换空间下具有不变性)之间的近似距离度量。三维模型形变方式又可分为刚性(rigid)变换和非刚性(non-rigid)变换，其中刚性变换有平移、旋转等，而非刚性变换有弯曲、缩放等。具有等距变换特性的模型，在经过非刚性变换后，其相应两点间的距离度量近似保持等距不变，因此，等距属性就是寻找模型间对应关系的一个重要依据。由于三维模型是离散的，因而计算最优的模型间对应关系等价于最小化两个或多个模型间所有对应点之间的距离度量差值，并用距离度量来存储模型的等距属性[7]。

在实际研究中，许多研究者都关注非刚性等距变换的模型间的对应关系计算，并取得了一些有意义的研究成果。文献[8]通过测地距离建立一个由概率统计方法得到的描述符进行配准，但是测地距离对于模型的拓扑结构变化比较敏感，不能得到良好的配准结果。文献[9]提出基于扩散距离和多维尺度分析(multi-dimensional scale, MDS)的非刚性变换模型相似性分析，解决了测地距离对拓扑结构变化的敏感性，较好地将扩散距离与MDS结合，通过计算嵌入模型的相似性来实现非刚性变换的模型之间的相似性分析，但是算法效率并不理想。文献[10]通过Laplace-Beltrami算子的特征方程来定义植入空间，并将模型进行谱植入来降维以达到简化对应关系计算的目的，提高了计算效率，但植入过程会存在误差而不能得到完全准确的对应关系。文献[11]在谱植入的基础上，通过稀疏到稠密的匹配策略建立模型间稠密对应关系，但这个过程需要一个良好的初始对应关系做保障。文献[12]提出了具有多尺度特性的热核签名描述符(heat kernel signatures, HKS)，能够有效区分模型的特征，利用特征相似性建立对应关系。但HKS有一个显著的缺点，就是它对模型尺度的变化比较敏感。文献[13]提出了尺度不变的热核签名(scale-invariant heat kernel signatures, SI-HKS)，在模型尺度因子中消除对一些参数的依赖，从而获得了尺度不变的热核签名。基于HKS计算的模型特征值分布可得到模型间整体的特征相关性，但对于构建模型间局部的特征相关性效果不是很好。为了解决这一问题，文献[14]提出了波核签名(wave kernel signatures, WKS)的算法，利用粒子能量的概率分布来测量不同模型上的分布点，对模型局部的特征定位进行了补偿。文献[15]提出了基于热核签名和波核签名的谱特征描述符(spectral descriptors)，该描述符结合了热核签名和波核签名的特性，具有多维性、等距不变性, 对网格拓扑改变不敏感, 能够表现模型全局结构和局部特性之间的差异，但是算法需要选择合适的基进行运算，且不能区分模型的对称性。文献[16]提出了函数映射(functional maps，FM)理论，将模型间对应关系转变为模型间函数映射问题，能够得到比较准确的模型间对应关系，但也不能有效地解决模型的自身对称性干扰对应关系计算的问题。文献[17]在函数映射的基础上，提出熵空间的函数映射方法，解决了对称性干扰问题，但是需要将模型间的函数映射分解成几部分，由于映射的分解必然引导模型函数空间的分解，因而还需要将函数空间分解成对称子空间和非对称子空间两部分，该处理过程十分繁琐。文献[18]通过统计方法校准Laplace-Beltrami算子建立对应关系，比较有效地解决了模型自身对称性的干扰问题，但必须要预先对模型进行分割处理。

此外，采用特征点标记算法[19-20]同时对源模型和目标模型进行相同的标记点采样可以减少匹配的时间复杂度，也可以有效地避免因对称性干扰而影响模型间对应关系的构建，但利用采样点集约束的方法有许多不足。一方面，基于标记点的方法需要大量的人工干预，无法适应现代技术的发展趋势；另一方面，利用采样点集约束目标模型上的搜索空间，再通过点与点之间的匹配来构建模型间对应关系的方法缺乏可靠性，当采样点集超过一定数量时，模型自身对称性仍然会影响模型间对应关系。

为了有效地解决模型自身对称性影响模型间对应关系计算的问题，本文在文献[16]与文献[18]的基础上提出了一种新的校准三维几何模型之间基矩阵的方法，用以计算非刚性变换的三维模型间的对应关系。首先，计算三维模型的Laplace算子，获得模型的特征值和特征向量，将特征向量作为函数空间，使得不同欧氏空间下的原始模型转换到同一Laplace空间中，并选取少量的特征向量构建一个基矩阵；其次，利用所得到的特征向量构建基矩阵，并提出协方差的最小值校准算法计算模型基矩阵之间的校准矩阵，该过程使模型间的对应关系计算问题转化为模型基矩阵之间的校准矩阵的计算，并且该过程省略了许多约束，如函数约束、描述符约束、标记点对应关系约束和模型分割部件的对应关系约束等；再次，计算源模型上各点的高斯曲率以采样尖端特征点，并在校准后的目标模型上对所有点进行遍历寻找最优对应点；最后，计算采样点与最优对应点之间的测地错误来衡量所构建的三维模型间的对应关系的准确性。