【组合数学】全错位排列的递推公式推导

假设现在我有三个信封A，B，C，并且现在有三个信纸a，b，c。 按照道理的话是，a塞入A信封，b塞入B信封，c塞入C信封。 但是现在，想要问，对于a，b，c全部塞错的情况，有多少种呢？ 比如把b塞入A，把c塞入B，把a塞入C就是一种。

对于这个问题，自己推导的时候就卡在了一个很关键的地方，让我怎么也想不明白，后来看了答案后，虽然知道了最终公式是什么，但是网上的“容易得出”，或者干脆略过小熊这个🐷脑袋怎么也想不明白。

让我们先来看看这个问题，现在，我们记错排公式为 D ( N ) D(N) D(N)：有N个信封和N个信纸的所有错误排列个数。

小熊是这样推导的：

现在假设我们有，求 D ( N ) D(N) D(N)： （A）（B）（C）（D）…（N） 这几个信封，并且有如下几个信纸： a、b、c、d…、n

那我首先知道，对于未来所有的结论，第一列应该是： b… c… d… … n…

这么多行，应该总共是 n - 1 行，所以先记录在这里。

那么对于每一行，我想答案应该是相同的，因为它具有对称性（比如，你只需要改改名字）。

下面来看第一行 b… 情况一 这说明，我们在把b信纸塞入（A）信封中，现在，若把a塞入（B）中，也就是a和b的对应信封调换了一下位置，那么剩下的（C）、（D）、（E）、…和信纸c、d、e、…就是一个新的问题，为 D ( N − 2 ) D(N-2) D(N−2)。

以上是第一种情况，那么对于a信纸不塞入（B）信封中的情况呢？

现在我们有信纸是：a、c、d、…n，因为b已经被塞入了，先别动。

情况二 那我们考虑，把信纸a换一个名字，现在悄悄改为b，这样现在我们有信封（B）、（C）、（D）、…和信纸b、c、d、…n来参与全错位的排列。可以肯定的是，最终结果排列中，每一种排列的b都不会塞入进（B）中，每一种排列的c也不可能塞入（C）中， 所以现在，我再把b的名字悄悄改为a，so~，现在，a不会塞入（B）中，并且我们也统计到了这种情况的所有错位排列。这是情况二。

综合考虑了情况一和情况二，现在我们可以大胆的写出公式了。

D ( N ) = ( N − 1 ) ∗ [ D ( N − 2 ) + D ( N − 1 ) ] D(N)=(N-1)*[D(N-2)+D(N-1)] D(N)=(N−1)∗[D(N−2)+D(N−1)] 其中肉眼可见： D ( 1 ) = 0 , D ( 2 ) = 1 D(1)=0,D(2)=1 D(1)=0,D(2)=1

因为卡住了D(n-1)这个东西是怎么来的，浪费了快两个小时的时间呜呜。

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