投影变换Projection Transformation学习笔记

投影 ：数学术语，指图形的影子投到一个面或一条线上。 在计算机图形学中，投影变换是把3D几何体转换成一种可作为二维图像渲染的方法。其中最常用的两种投影方式为正交投影和透视投影。

the view volume is an axis-aligned box, and we’ll name the coordinates of its sides so that the view volume is [l, r] × [b, t] × [f, n] shown in Figure 7.4. ——《Fundamentals of Computer Graphics 4th》P142

书中认为，当我们将摄像机固定为坐标原点、看向-z轴方向并以y轴为上方时，令视图体是一个轴向对齐的框，我们将命名它的边的坐标为[l, r] x [b, t] x [f, n]（其中0>n>f），就像Figure7.5中展示的那样（原书中为7.4） 将其转换为每个边的边长都为2、中心点在原点的正方形，于是书中直接得出了一个正交变换矩阵（一个显然我要推一下才能看懂，是我太菜了）。

The key property of perspective is that the size of an object on the screen is proportional to 1/z for an eye at the origin looking up the negative z-axis. This can be expressed more precisely in an equation for the geometry in Figure 7.8: where y is the distance of the point along the y-axis, and ys is where the point should be drawn on the screen.

就像公式中那样，在此变换中出现了输入向量z在分母上的情况，所以不能使用仿射变换做到。 这里继续引入齐次坐标[x, y, z, w]，并允许w不为1，即[x, y, z, w]代表点[x/w, y/w, z/w]。 然后我就可以认为一个点p = ax + by + cz + d。这样我们就可以处理向量在分母上的情况了。 进而可以得到： 所以我们想要找到一个矩阵能够做到： 我们希望得到透视变换后的坐标[x1, y1, z1, w1] = M(x, y, z, 1) = [nx/z, ny/z, unknown, 1] = [nx, ny, still unknown, z] 得到M的前两行为{ [n, 0, 0, 0], [0, n, 0, 0] }。 为了避免矩阵中含有输入变量，这里对第四行进行解得[0, 0, 1, 0]。 又易得第三行与x和y无关，得到M={ [n, 0, 0, 0], [0, n, 0, 0], [0, 0, A, B], [0, 0, 1, 0] } 这里的解法很微妙 取两个关键点，[0, 0, n, 1]和[0, 0, f, 1]，他们进行变换后的坐标应该为[0, 0, n^2, n]和[0, 0, f^2, f]。 由此得到二元一次方程组 { An + B = n^2, Af + B = f^2 } 解得A=n+f，B=-nf 由此可得最终M={ [n, 0, 0, 0], [0, n, 0, 0], [0, 0, n+f, -nf], [0, 0, 1, 0] }

通过透视变换我们获得了一个长方体，下面就可以进行正交变换了。 有Mper = Morth·P 呼，常用的变换完成了。