优劣解距离算法（TOPSIS）

全称 “Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution”，即“逼近理想解排序法”

该算法主要用于解决评价类问题，用于确定各个方案层的最终得分

优点在于能充分利用原始数据的信息， 其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

TOPSIS 和 AHP 的主要差异在于相关功能和适用问题范围的差异

事实上，优劣解距离算法和层次分析法可以结合

TOPSIS 的核心原理主要是“指标正向化”方法与“标准化消除量纲影响”方法两个方法的合理性，事实上，这两个方法也是 TOPSIS 和 AHP 的主要区别

幸运的是，这两个方法的合理性并不需要我们长篇大论地证明，只需要我们使用合理的语言在使用时稍加阐述即可，严格的证明已经由运筹学家解决

我们依然采用层次分析法的例子，不同的是，这次，我们的所有要素都有非常准确的数据来源（假设这些数据都已经被我们获取）

将这些信息整理成表格如下：

我们发现表格中的数据并不完全是同一类型的数据

事实上，TOPSIS 中用到的数据可以被我们分为四种：

比如上面的例子，健康指数是极大型指标，价格、距离和等待时间是极小型指标，而咸淡程度则是区间型数据

下面，我们给出统一指标类型的方法——将所有指标都转成极大型指标，即正向化处理

找出这组数据的最大值 x_{max} ，每个数据 x_i 对应的正向化以后的指标就是 x_{max} - x_i

列出这组数据和中间型指标的差值，这个差值就是一组极小型指标，采用 1 中的处理方法进行类似的处理，最后做一步区间赋分处理

假设正向化处理的函数为 positiveChange，则处理的公式为：

d_{max} = max\{|x_i - x_{best}|\},\forall i = 1,2,\dots ,n

positiveChange(x) = \frac{d_{max} - |x-x_{best}|}{d_{max}}

如果数据处于区间内，则直接赋予最大值，即 1

如果数据位于区间外，则计算数据和区间边界的距离

设区间为 [a,b] ，我们将计算过程分成下面的几步：

d_{max} = max(a - min\{x_i\},max\{x_i\}-b),\forall i = 1,2,\dots,n

d(x) = \begin{cases} a - x,\quad x < a\\ x - b, \quad x > b \end{cases}

positiveChange(x) = \begin{cases} 1,\quad x \in [a, b]\\ \frac{d_{max} - d(x)}{d_{max}}, \quad x \notin [a,b] \end{cases}

在进行正向化处理之后，我们得到了增长意义统一（类型）的一组数据

然而，在统一意义之后，还应该进行统一的是单位：对于单位我们采用标准化处理的统一方法

标准化方法是，假设方案 1,2,3,\dots,n 的在同一个因素评价得分分别是 a_1,a_2,\dots,a_n

那么进行标准化以后他们的得分变为 b_1,b_2,\dots,b_n ，应该满足：

b_i = \frac{a_i}{\sqrt{\sum_{k=1}^na_k^2}}

首先我们将表格数据罗列成正向化矩阵，其中同一列表示同一因素评价下各方案的得分，同一行表示同一方案下不同因素的得分情况，假设一共有 m 个因素和 n 个方案，则

假设原矩阵（正向化后）为：

\begin{pmatrix} x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1m}\\ x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nm} \end{pmatrix}

将这个矩阵进行标准化后为：

\begin{pmatrix} z_{11}&z_{12}&\cdots&z_{1m}\\ z_{21}&z_{22}&\cdots&z_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ z_{n1}&z_{n2}&\cdots&z_{nm} \end{pmatrix}

同理应该满足z_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}} , \forall j = 1,2,\dots,m

我们还可以使用层次分析法对不同权重的重要程度作出分析，具体参见 AHP.md ， 假设已经通过分析得到这些要素的权重分别为 w_1,w_2,\dots,w_m

经过上述过程，我们现在已经得到了标准化后的矩阵了，即

\begin{pmatrix} z_{11}&z_{12}&\cdots&z_{1m}\\ z_{21}&z_{22}&\cdots&z_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ z_{n1}&z_{n2}&\cdots&z_{nm} \end{pmatrix}

现在我们还要经过一步处理得到最终的得分，在列出公式之前还是应该提醒一下：

同一列表示同一因素评价下各方案的得分，同一行表示同一方案下不同因素的得分情况，假设一共有 m 个因素和 n 个方案

我们整合出一个最大值向量：它包含了 m 个分量，表示这 m 个因素的最大指标，即：

Z^{max} = (\underbrace{max\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,max\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\}}_{共 m 个分量})

同理，我们也可以定义最小值向量

Z^{min} = (\underbrace{min\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},min\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,min\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\}}_{共 m 个分量})

我们知道任意一行向量表示一个方案的所有因素的得分

第 i 个方案对应的行向量（各因素得分）为 z_{i1},z_{i2},\cdots,z_{im}，我们可以定义这个方案和最大值向量的距离

D^{from-max}_i = \sqrt{\sum^{m}_{j=1}(Z^{max}_j-z_{ij})^m} \quad,\quad \forall i = 1,2,\cdots,n

同理我们也可以定义这个方案对应的行向量（各因素得分）和最小值向量的距离

D^{from-min}_i = \sqrt{\sum^{m}_{j=1}(Z^{min}_j-z_{ij})^m} \quad,\quad \forall i = 1,2,\cdots,n

值得注意的是，我们上面两个公式的计算是默认每个因素之间重要程度的比值为 w_1:w_2:\cdots:w_n = 1:1:\cdots :1 的，如果我们根据一些方法（如 AHP 、熵权法 etc.）得到了不同因素的权重，那么上面两个公式应该改成：

D^{from-max}_i = \sqrt{\sum^{m}_{j=1}w_j(Z^{max}_j-z_{ij})^m} \quad,\quad \forall i = 1,2,\cdots,n

D^{from-min}_i = \sqrt{\sum^{m}_{j=1}w_j(Z^{min}_j-z_{ij})^m} \quad,\quad \forall i = 1,2,\cdots,n

这样，我们可以计算出这个方案的得分，设第 i 行对应的方案的得分为 s_i，应该有

s_i = \frac{D^{from-min}_i}{D^{from-min}_i+D^{from-max}_i}

可以用下面的图表示

使用和层次分析法一样的归一化方法，即可得到最终得分，进而得到最终排名

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