椭圆复变函数论（一）复变函数基础

在N元（复）数构想系列文章中，我们曾经介绍了一种特殊的二元复数——椭圆复数，其定义如下：

定义0-1：对 \forall x,y\in R ，称形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数为椭圆复数，其中 i 满足

ii=i^2=\lambda,\lambda\in R^{-}\tag{0-1}

将所有椭圆复数的集合记为 \mathbb{C}_{\lambda} 。其中 x 称为 z 的实部， y 称为 z 的虚部。

容易证明，椭圆复数是可除代数，而且满足乘法结合律与乘法交换律。椭圆复数与数学家所研究的复数（为了方便，以下均将其称为圆复数）在很多方面具有相似的性质，比如欧拉公式：

命题0-1：设 \varphi\in \mathbb{R} ，且 i^2=\lambda=-q^2,q\in \mathbb{R^*} ，则有[1]

e^{i \varphi}=\cos (q \varphi)+i \frac{1}{q} \sin (q \varphi) \tag{0-2}

其中 e 为自然对数的底， \sin \theta,\cos \theta 分别为 \theta 的正弦函数和余弦函数。

进一步的，我们有椭圆复数的除法运算的定义：

定义0-2：设 z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2\in \mathbb{C}_\lambda,\lambda|\theta|=|\frac{\arcsin1}{q}|>\frac{\pi}{2} ；若 |q|\in(1,\infty) ，则 |\theta|=|\frac{\arcsin1}{q}|k>0 ， q=k 与 q=-k 所对应的是两个具有恰好相反性质的系统，就像量子物理中的正反粒子（如果我们能够引入模糊数学的理论，是否能够解释量子纠缠等奇怪的物理现象？）。

当然，以上我们只考虑了 q 为（变）常数，即直线坐标系的情况。若 q=q(t) 为一个变量 t 的函数，则引入分析的理论， q^{'}(t)=\frac{d}{dt}q(t) 即表示了y 轴正向的斜率变化情况；此时椭圆复数的几何意义为曲线坐标系下的元素的几何位置表示。

（1）若 q^{'}(t) 恒大于0，且 |q(t)|\in(1,\infty)

此时椭圆复数所在坐标系为 y 轴正向与 x 轴正向的夹角 |\theta| 逐渐变小的曲线坐标系。当 t\rightarrow\infty 时， q(t)\rightarrow\infty ， |\theta|\rightarrow0 ，即 y 轴正向将会无限靠近 x 轴正向——可以想见这样的场景：两条自 x 坐标为0处向 x 轴正向出发的相互平行的射线，他们在无穷远处一定有至少一个交点，这就与一开始相互平行的假设矛盾了。于是得到，在这样的坐标系下，过直线外一点不可能找到一条与该直线相互平行的直线。显然，这正是黎曼几何的基本假设，这样的坐标系所对应的正是黎曼几何所描述的几何对象。

（2）若 q^{'}(t) 恒小于0，且 |q(t)|\in(0,1)

此时椭圆复数所在坐标系 y 轴正向与 x 轴正向的夹角 |\theta| 逐渐变大，直到无穷远处。当 t\rightarrow\infty 时， q(t)\rightarrow0 ， |\theta|\rightarrow\infty ，即 y 轴正向将会无限远离 x 轴正向——可以想见这样的场景：两条自 x 坐标为0处向 x 轴正向出发的相互平行的射线，他们在无穷远处也不会有交点，所以这样的相互平行的直线是存在的。于是得到，在这样的坐标系下，过直线外一点可以找到不止一条与该直线相互平行的直线。显然，这正是罗氏几何的基本假设，这样的坐标系所对应的正是罗氏几何所描述的几何对象。

显然，在上述两种情况之外，还有更多可能的曲线坐标系来描述几何对象，比如 q^{'}(t) 不恒小于0（或不恒大于0），而 |q(t)|\in(s,t) ，其中 s\in(0,1) ， t\in(1,\infty) 所对应的坐标系，这样的坐标系将会更加复杂，后续讨论。

大家是否还记得作者之前在《N元复数构想》系列课题中所提到的“镶嵌在椭圆复数上的爱森斯坦代数”，这同样是一种非常神奇的代数系统——椭圆复数的 x 轴并没有像 y 轴那样经过了某种旋转操作，而爱森斯坦代数就不一样了，其 x 轴同样经过了某种旋转操作，其所对应的坐标系将会更加奇特，这里暂时没有必要展开论述。

需要注意的是，在目前的关于《椭圆复变函数论》及相关课题的研究中，我们并不讨论曲线坐标系下的复变函数，而只是将 q 看做一个变常数来研究对应的复变函数，这是为了方便后面黎曼猜想的研究而做的基本假设。

椭圆复数的基本运算的几何意义与圆复数是差不多的，其中加法和减法在几何上往往利用其平行四边形法则或三角形法则，下面我们探讨一下其乘法和除法运算的几何意义。

设 a=a_1+ia_2,b=b_1+ib_2\in\mathbb{C}_{\lambda}(\lambda=-q^2) ，则

ab=a_1b_1-q^2a_2b_2+i(a_1b_2+a_2b_1) ，

根据欧拉公式 e^{r+i \varphi}=e^r\left(\cos (q \varphi)+i \frac{1}{q} \sin (q \varphi) \right) ，复数 a 可以表示为

a=e^{r_1+i \varphi_1}=e^{r_1}\left(\cos (q \varphi_1)+i \frac{1}{q} \sin (q \varphi_1) \right) ，其中 |a|=e^{r_1} 表示 a 的模， \arg a=\varphi_1 称为复数 a 的辐角；同样的复数 b 可以表示为

b=e^{r_2+i \varphi_2}=e^{r_2}\left(\cos (q \varphi_2)+i \frac{1}{q} \sin (q \varphi_2) \right) ，

所以有

ab=e^{(r_1+i \varphi_1)+(r_2+i \varphi_2)}=e^{r_1+r_2}\left( \cos q(\varphi_1+\varphi_2)+ i \frac{1}{q} \sin q (\varphi_1+\varphi_2) \right)

于是得到 |ab|=|a||b| ， \arg (ab)=\arg a+\arg b ，其几何意义可以理解为：

如图2-1所示，显然，以O，1， a 为顶点的三角形 \Delta_1 与以O， b ， ab 为顶点的三角形 \Delta_2 是相似三角形，即 \alpha=\beta ，从而得到结论 \arg (ab)=\arg a+\arg b 。类似的，利用 以O，1， a 为顶点的三角形 \Delta_1^{'} 与以O， b/a ， b 为顶点的三角形 \Delta_2^{'} 是相似三角形，可以得到除法运算对应的结论 \arg (a/b)=\arg a-\arg b 。

在《N元复数构想》系列我们曾经给出正规椭圆的定义，这里为了阅读方便，不妨再给大家介绍一下[2]。

定义2-1：在复平面 \mathbb{C}_\lambda,\lambda=-p=-q^20">\forall \varepsilon>0 ， \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 ，使得当 z\in E 且 0\exists \delta=\delta(A)>0 ，使得当 z\in E 且 0A

成立，则称 z 在 E 中趋于 z_0 时， f(z) 趋于无穷大，记为

\lim _{z \rightarrow z_{0}, z \in E} f(z)=\infty \text { 或 } f(z) \rightarrow \infty\left(z \rightarrow z_{0}, z \in E\right)

命题3-1：设 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ， z_0=x_0+iy_0 ， \alpha=s+it 为一常复数，则

\lim _{z \rightarrow z_{0}} f(z)=\alpha \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \lim _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} u(x, y)=s ; \\ \lim _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} v(x, y)=t . \end{array}\right.\tag{3-1}

证明：因为 f(z)-\alpha=(u(x, y)-s)+i(v(x, y)-t) ，由不等式

\left.\begin{array}{l} |x| \\ |q |\cdot| y| \end{array}\right\} \leq|x+i y| \leq|x|+|q |\cdot| y| \left(\lambda=-q^{2}\right)\tag{3-2}

可以得到

\left.\begin{array}{l} |u(x, y)-s| \\ |q|\cdot| v(x, y)-t| \end{array}\right\} \leq|f(z)-\alpha| \leq|u(x, y)-s|+|q|\cdot|v(x, y)-t|

注意到 q 为一个非零常数，则

\Rightarrow ：因为 \left|\lim _{z \rightarrow z_{0}} f(z)-\alpha\right|=0 ，由上式第一个不等号即可证明；

\Leftarrow ：因为 \left|\lim _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} u(x, y)-s\right|=0 ，\left|\lim _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} v(x, y)-t\right|=0 ，由第二个不等号即可证明。

定义3-4：设 w=f(z) 为定义在点集 E 上的复变函数， z_0 为 E 上的聚点，且 z_0\in E ，若

\lim _{z \rightarrow z_{0}, z \in E} f(z)=f\left(z_{0}\right)

则称 f(z) 在 z_0 处是连续的。若函数 f(z) 在 E 上的每一个聚点都连续，则称 f(z) 在 E 上是连续的。

命题3-2：函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 z_0=x_0+iy_0 处连续，当且仅当其实部和虚部 u(x,y) , v(x,y) 在 (x_0,y_0) 处是连续的。

同样，四则运算对连续函数是封闭的，即若 f(z),g(z) 在 z_0 处是连续的，则函数

f(z) \pm g(z), \quad f(z) g(z), \quad \frac{f(z)}{g(z)}\left(g\left(z_{0}\right) \neq 0\right)

在 z_0 处也是连续的。

定义3-5：设 w=f(z) 为定义在点集 E 上的复变函数，若对 \forall\varepsilon>0 ，存在与 z 无关的 \delta=\delta(\varepsilon)>0 ，使得 \forall z_1,z_2\in E 且 |z_1-z_2|0 ，使得 |f(z)|\leq M\ (z\in E) ；且有以下等价条件

函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 E 上有界 \Leftrightarrow u(x,y),v(x,y) 在 E 上有界

定理3-3：设函数 f(z) 在简单曲线或有界闭区域 E 上连续，则 f(z) 在 E 上达到最大模和最小模，即 \exists z_1,z_2\in E ，使得

\left|f\left(z_{1}\right)\right|=\max _{z \in E}|f(z)|, \quad\left|f\left(z_{2}\right)\right|=\min _{z \in E}|f(z)|

定义3-6：设 w=f(z) 为定义在无界（闭）区域 E 上的复变函数， \alpha 为一个复常数。若 \forall \varepsilon>0 ， \exists \rho=\rho(\varepsilon)>0 ，使得当 z\in E 且 |z|>\rho 时

|f(z)-\alpha|