希尔伯特变换学习笔记

当我们学习一个新鲜事物时，我们通常会提出这些问题：

它到底是个什么东西？它的概念是什么？

它有什么直观的表达或者物理意义吗？

学习它有什么用？它的应用是什么？

本文将从以上问题入手对希尔伯特变换进行总结。

       定义1.1    一个实值信号x(t)的希尔伯特变换被定义为

       可见一个实值信号x(t)的希尔伯特变换就是将x(t)与1/(πt)进行卷积。显然它不像傅里叶变换那样从一个域到另一个域，它仍然是由时域到时域的一个变换。这里要注意的是其中的卷积积分表示的其实是该积分的柯西主值

这是由于以τ为自变量的函数x(τ)/(t-τ)在τ=t处是一个奇点。所以它与傅里叶变换相似的是，不是任何实值信号x(t)都有希尔伯特变换，它必须满足这个反常积分的柯西主值收敛。然而它又与傅里叶变换相似的是，尽管有些实值信号x(t)不满足条件，但仍从频域的角度给出了它们的希尔伯特变换。

       现在我们从频域的角度来看看希尔伯特变换是怎样工作的。由于

其中sgn是符号函数，

所以一个实值信号的傅里叶变换与其希尔伯特变换的傅里叶变换的关系为：

那么希尔伯特变换在频域中所作的工作实际上是这样的：

也就是说一个实值信号经过一次希尔伯特变换，其正频率的频域部分会顺时针旋转90°，其负频率的频域部分会逆时针旋转90°；两次希尔伯特变换之后整个频域被旋转了180°，实值信号x(t)也就变成了-x(t)；四次希尔伯特变换之后又回到了原信号。这样我们也就引出了希尔伯特逆变换：

1.线性性质，即

       由积分的线性性质显然，不作证明。

2.x(t)与H[x(t)]正交。

       证：根据乘积定理有

由于x(t)是一个实值信号，所以|X(ω)|²是一个偶函数，那么sgn(ω)|X(ω)|²就是一个奇函数，所以

得证。

3. 

       之前已经证明过了。

4. 偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希尔伯特变换为偶函数。

       证：由偶函数可得x(t)=x(-t)，则其谱有关系X(ω)=X(-ω)。而

则

那么

所以

得证。另一个同理。

5. 希尔伯特变换前后能量、平均功率不变。

       证：根据Parseval等式有

得证。

6. 设低频带限的平稳信号f(t)的最高频率小于ω0，则

       证：设f(t)的傅里叶变换为F(ω)，那么

所以

得证。另一个同理。

       定义3.1    如果一个系统，它在任一时刻的输出都只与这一时刻之前（包括这一时刻）的输入有关，与这一时刻之后的输入无关，这样的系统就叫做因果系统。

       这样的系统是符合我们的一般常识的，即有因（输入）才有果（输出），所以又叫做物理可实现系统。

       定理3.1    因果系统的冲激响应函数h(t)一定满足

其中u(t)是阶跃函数。这意味着在t