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【数学Ⅱ】三角関数の公式まとめ（加法定理・変換・合成）
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東大塾長の山田です。 このページでは、「三角関数の公式（性質）」をすべてまとめています。 ぜひ勉強の参考にしてください！ 補足※ 公式の証明や覚え方・導き方は各関連記事で解説しているので、そちらもぜひチェックしてください。 1. 三角関数の相互関係 三角比の相互関係・\( \displaystyle \color{red}{ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} } \) \( \sin \theta, \ \cos \theta, \ \tan \theta \) のうち1つでも値がわかれば、次の3つの関係式から残りの2つの値を求めることができます。  関連記事【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの相互関係と覚え方
2. 三角関数の性質（変換公式） 2.1 \( \theta + 2n \pi \) の三角関数 \( n \) を整数とするとき、角 \( \theta + 2n \pi \) の動径は角 \( \theta \) の動径と同じ位置にあるから、次の公式が成り立つ。 θ＋2nπの変換公式・\( \color{red}{ \sin ( \theta + 2n \pi ) = \sin \theta } \) ・\( \color{red}{ \cos ( \theta + 2n \pi ) = \cos \theta } \) ・\( \color{red}{ \tan ( \theta + 2n \pi ) = \tan \theta } \) 2.2 \( – \theta \) の三角関数 －θの変換公式・\( \color{red}{ \sin ( – \theta ) = \ – \sin \theta } \) ・\( \color{red}{ \cos ( – \theta ) = \cos \theta } \) ・\( \color{red}{ \tan ( – \theta ) = \ – \tan \theta } \) 2.3 \( \displaystyle \theta + \frac{\pi}{2} \) の三角関数 θ＋ π/2 の変換公式・\( \displaystyle \color{red}{ \sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = \cos \theta } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = \ – \sin \theta } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \tan \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = \ – \frac{1}{\tan \theta } } \) 関連記事【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの変換公式と覚え方
2.4 \( \displaystyle \theta + \pi \) の三角関数
θ＋πの変換公式
・\( \displaystyle \color{red}{ \sin (\theta + \pi ) = \ – \sin \theta } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos (\theta + \pi ) = \ – \cos \theta } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \tan (\theta + \pi ) = \tan \theta } \) 2.5 \( \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \theta \) の三角関数 π/2 －θの変換公式・\( \displaystyle \color{red}{ \sin \left( \frac{\pi}{2} \ – \theta \right) = \cos \theta } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos \left( \frac{\pi}{2} \ – \theta \right) = \sin \theta } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \tan \left( \frac{\pi}{2} \ – \theta \right) = \frac{1}{\tan \theta} } \) 関連記事【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの変換公式と覚え方
2.6 \( \displaystyle \pi \ – \theta \) の三角関数
π－θの変換公式
・\( \displaystyle \color{red}{ \sin (\pi \ – \theta) = \sin \theta } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos (\pi \ – \theta) = \ – \cos \theta } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \tan (\pi \ – \theta) = \ – \tan \theta } \) 関連記事【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの変換公式と覚え方
3. 加法定理と応用 3.1 加法定理 加法定理の公式 【正弦の加法定理】 ・\( \color{red}{ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta } \) ・\( \color{red}{ \sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta } \)
【余弦の加法定理】 ・\( \color{red}{ \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta } \) ・\( \color{red}{ \cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \)
【正接の加法定理】 ・\( \color{red}{ \displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta }{1 – \tan \alpha \tan \beta} } \) ・\( \color{red}{ \displaystyle \tan (\alpha – \beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta }{1 + \tan \alpha \tan \beta} } \)  
関連記事加法定理の公式まとめ（証明・覚え方・語呂合わせ・問題）
3.2 2倍角の公式 2倍角の公式 \( \color{red}{ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha } \) \( \color{red}{ \begin{align} \cos 2 \alpha & = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha \\ & = 2 \cos^2 \alpha – 1 \\ & = 1 – 2 \sin^2 \alpha \end{align} } \) \( \color{red}{ \displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} } \) \( \cos 2 \alpha \) の公式「\( \cos 2 \alpha = 1 – 2 \sin^2 \alpha \)」を \( \sin^2 \alpha \) について ，「\( \cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha – 1 \)」を \( \cos^2 \alpha \) について，それぞれ解くと得られる式 ・\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2 \alpha}{2} } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} } \) を使うこともよくあります（次数下げや積分をするときに便利）。 関連記事2倍角の公式（覚え方・導き方）
3.3 半角の公式 半角の公式 ・\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2} } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} } \) ・\( \displaystyle \color{red}{ \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha } } \) 関連記事半角の公式（覚え方・導き方）
3.4 3倍角の公式 3倍角の公式 ・\( \color{red}{ \sin 3 \alpha = 3 \sin \alpha – 4 \sin^3 \alpha } \) ・\( \color{red}{ \cos 3 \alpha = -3 \cos \alpha + 4 \cos^3 \alpha } \) 関連記事3倍角の公式（覚え方・導き方）
3.5 和積の公式 3.5.1 積→和の公式 和積（積→和）の公式 \( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\} } \) \( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos \alpha \sin \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta) \right\} } \) \( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \right\} } \) \( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin \alpha \sin \beta= – \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta) \right\} } \) 関連記事和積の公式（覚え方・導き方）
3.5.2 和→積の公式 和積（和→積）の公式 \( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \) \( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin A – \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \) \( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \) \( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos A – \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \) 関連記事和積の公式（覚え方・導き方）
4. 三角関数の合成公式 4.1 三角関数の合成公式（sin） 三角関数の合成公式（sin） \( \displaystyle \color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin ( \theta + \alpha ) } \) ただし，\( \alpha \) は \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) を満たす角度。 
関連記事三角関数の合成公式（証明・問題・cos型について）
4.2 三角関数の合成公式（cos） 三角関数の合成公式（cos） \( \displaystyle \color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos ( \theta \ – \beta ) } \) ただし，\( \beta \) は \( \displaystyle \sin \beta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \cos \beta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) を満たす角度。 
関連記事三角関数の合成公式（証明・問題・cos型について）
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